Розділ 4. Вступ до математичного аналізу

4.1. Поняття множини. Логічна символіка. Необхідна і достатня умови, пряма і обернена теореми

Поняття множини є одним з основних понять математики і не може бути визначене через більш прості поняття. Можна сказати, що множина є сукупність певних елементів (предметів, об’єктів), об’єднаних якоюсь спільною властивістю; сукупність, яка мислиться як одне ціле. Можна, наприклад, розглядати множину навчальних тижнів даного навчального року, множину студентів даного факультету, множину молекул в даному об’ємі речовини, тощо. В математиці здебільшого розглядаються множини чисел, точок, фігур, функцій і т.д. Конкретна множина вважається визначеною, якщо є можливість для всякого елемента дати цілком однозначну відповідь – належить даний елемент до множини, чи не належить.

Множини позначають звичайно великими літерами латинського алфавіту: , а їх елементи – малими літерами. Якщо а є елементом множини А, то пишуть ; в противному разі . Множина, яка не має елементів, називається порожньою і позначається . Множини А і В називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Отже, рівність означає, що одна і та ж множина позначена різними літерами. Запис , або означає, що множина А складається з елементів .

Математичні міркування, формулювання теорем і означень часто можуть бути записані більш стисло і зручно для запам’ятовування, якщо користуватись символікою, прийнятою в логіці. Розглянемо деякі поняття і позначення математичної логіки.

Висловленням або твердженням будемо називати оповідне речення, відносно якого можна встановити, істинне воно чи хибне. Позначати твердження будемо малими грецькими літерами . Наприклад : „9 ділиться на 4”, : „Одеса – обласний центр”, : „діагоналі ромба взаємно перпендикулярні”. Тут твердження хибне, і – істинні.

В математичних текстах часто зустрічаються вирази „для всякого (кожного, будь-якого)” і „існує”. Для цих виразів прийнято відповідно позначення (від англійського „Any”) і (від англійського „Exist”).

Запис означає „для всякого елемента х множини Х істинним є твердження ” (символ називають квантором загальності).

Запис означає „існує елемент х множини Х, для якого істинним є твердження ” (символ називають квантором існування).

Приклад. Запишемо, використовуючи логічну символіку, твердження „функція обмежена на множині А”. Це означає: існує таке число , що для будь-якого має місце нерівність , або, в логічних символах:

.

Формулювання будь-якої теореми має вигляд: „якщо істинне , то істинне ”, або, що теж саме, „з випливає ”. Це записується (знак – символ імплікації).

В цьому разі кажуть, що – умова, – висновок теореми, або (якщо теорема вірна), що умова достатня для , а умова необхідна для .

Теорема називається оберненою по відношенню до теореми , яка зветься прямою. Очевидно, в свою чергу теоремою, оберненою до є , тому ці дві теореми називаються взаємно оберненими. Якщо пряма теорема є вірною, то обернена може бути як вірною, так і не вірною.

Приклади.

1. Пряма теорема. Якщо три вектори компланарні, то їх змішаний добуток дорівнює нулю.

Обернена теорема. Якщо змішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.

В даному разі вірними є і пряма і обернена теорема.

2. Пряма теорема. Якщо визначник містить нульовий рядок, то він дорівнює нулю.

Обернена теорема. Якщо визначник дорівнює нулю, то він містить нульовий рядок.

Тут теорема пряма є вірною, а обернена – невірною.

Нехай вірною є теорема „”. Тоді, як сказано вище, умова достатня для , а умова необхідна для . Якщо при цьому вірною є і обернена теорема „”, то в свою чергу умова достатня для , а умова необхідна для . Таким чином в даному разі умова є необхідною і достатньою для (а – необхідною і достатньою для ). В цьому випадку твердження і еквівалентні (рівносильні): істинне тоді і тільки тоді, коли істинне . Це позначається (знак – символ еквівалентності). Так, у розглянутому вище прикладі 1 пряма і обернена теореми можуть бути об’єднанні одним формулюванням: „Для того, щоб три вектори були компланарні, необхідно і достатньо, щоб їх змішаний добуток дорівнював нулю”, або „Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, якщо їх змішаний добуток дорівнює нулю”.