Решение этого уравнения дается формулой

Частота  дается формулой . Для определения величин U_m и  следует использовать начальные условия.

Колебания в контуре являются затухающими, их амплитуда уменьшается по показательному закону. Натуральный логарифм отношения двух любых последовательных амплитуд колебаний называют логарифмическим декрементом затухания =ln(A_n/A_n+1)=T, T=2/ - период колебаний. Логарифмический декремент затухания характеризует скорость убывания амплитуды колебаний. Колебательный контур характеризуют также величиной Q=/R, которую называют добротностью колебательного контура, а параметр , имеющий размерность сопротивления, называют волновым или характеристическим сопротивлением контура. В случае слабого затухания <<₀ =/Q.

26. Цепь состоит из источника тока с ЭДС Є, и резисторов с сопротивлениями R₁ и R₂, конденсатора емкостью C и разомкнутого ключа К. В начальный момент ключ замыкают. Определить, как будет изменяться заряд на конденсаторе после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Решение

Ток источника I складывается из токов через резистор R₁ - I₁ и конденсатор I_С :

I= I₁+ I_С

Применяя второе правило Кирхгофа к контуру, содержащему источник тока и оба резистора, и к контуру, содержащему первый резистор и конденсатор, будем иметь:

I₁R₁+IR₂= Є

q/C- I₁R₁=0

Исключив токи I и I₁ из первых двух уравнений и подставив их в третье с учетом I_C=dq/dt, получим уравнение

Є/R₁,

где T=R₁R₂C/(R₁+R₂). Когда заряд на конденсаторе станет максимальным, ток через него прекратится, dq/dt=0. Из этого уравнения можно найти максимальный заряд на конденсаторе: q_m=T Є /R₁. Так как в начальный момент конденсатор не заряжен, решением этого уравнения с нулевым начальным условием будет

q(t)=q_m(1-exp(-t/T))

27. Цепь состоит из источника тока с ЭДС Є, и резисторов с сопротивлениями R₁ и R₂, катушки с индуктивностью L и разомкнутого ключа К. В начальный момент ключ замыкают. Определить, как будет изменяться ток через катушку после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.

Решение

Ток источника I складывается из токов через резистор R₁ - I₁ и катушку I_L :

I= I₁+ I_L

Применяя второе правило Кирхгофа к контуру, содержащему источник тока и оба резистора, и к контуру, содержащему первый резистор и катушку, будем иметь:

I₁R₁+IR₂= Є

LdI_L/dt- I₁R₁=0

Исключив токи I и I₁ из первых двух уравнений и подставив их в третье, получим уравнение

Є/TR₂,

где T=(R₁+ R₂)L/R₁R₂. Ток через катушку ,будет максимальным, когда он перестанет изменятся, dI_L/dt=0. Из этого уравнения можно найти максимальный ток через катушку: I_m = Є /R₂. Так как в начальный момент тока через катушку нет, решением этого уравнения с нулевым начальным условием будет

I_L q(t)=I_m(1-exp(-t/T))

28. Определить связь между амплитудами тока и напряжения при свободных колкбаниях в LC контуре.

Решение

Свободные колебания в контуре без потерь - гармонические с угловой частотой

.

Напряжение на элементах контура составит U(t)=U_mcos(₀t+), ток в контуре будет I(t) = CdU/dt=-₀C U_msin(₀t+)=-(U_m/)sin(₀t+). Амплитуда тока составит I_m=U_m/, где

- волновое сопротивление контура.

29. Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = 1 мк и катушки с индуктивностью L = 1 мкГн, амплитуда тока за время t = 1 мс уменьшилась в  = 2 раза. Определить сопротивление проводов и добротность колебательного контура.