Решение

Вследствие сферической симметрии у вектора напряженности поля отлична от нуля только проекция на ось, проведенную из центра шара О. Выбирая в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r с центром в точке О, применим к этой сфере теорему Гаусса. Так как напряженность поля перпендикулярна этой сфере, поток вектора напряженности через эту сферу равен 4πr²E(r). Если r> R, то полный заряд внутри сферы равен q=(4πR³/3)ρ, и E(r )=kq/r², φ(r)= kq/r. Если r< R, то заряд внутри сферы q=(4πr³/3)ρ, и E(r )=kqr/R³, φ(r)= kq/R +. Потенциал в центре шара φ(0)= 3kq/2R, потенциал в точке А φ(2R)= kq/2R. Разность потенциалов φ(0)- φ(2R)= kq/R.

8. Три одинаковых точечных заряда (масса каждого m, заряд q) удерживаются в вершинах правильного треугольника со стороной a. Определить скорости этих зарядов после того, как их отпустят, и они разлетятся на большое расстояние друг от друга.

Решение

В силу симметрии заряды приобретут одинаковые скорости v, их полная кинетическая энергия будет 3mv²/2. В начальном состоянии потенциальная энергия взаимодействия каждой пары зарядов составляет q²/a, потенциальная энергия взаимодействия каждого заряда с двумя другими составляет 2q²/a, потенциальная энергия взаимодеиствия всех зарядов друг с другом 3(2q²/a)=6 q²/a. Потенциальная энергия переходит в кинетическую, т.е. 3mv²/2=6 q²/a, откуда

Проводники в электрическом поле.

При помещении проводника в электрическое поле на поверхности проводника наводятся свободные электрические заряды с такой поверхностной плотностью, чтобы сумма напряженностей внешнего поля и поля поверхностных зарядов была равна нулю. Внутри проводников электрическое поле . Полное поле на поверхности проводника должно быть перпендикулярно поверхности, в противном случае заряды на поверхности будут приходить в движение под действием тангенциальной составляющей полного поля. Нормальная составляющая полного поля следующим образом связана с поверхностной плотностью зарядов σ:

Конденсатор представляет собой систему из двух проводников, на которых расположены равные и противоположные по знаку заряды. Заряд конденсатора q пропорционален разности потенциалов U между проводниками конденсатора:

q=CU

Коэффициент С называется емкостью конденсатора. Емкость можно измерить. В некоторых простых случаях емкость можно рассчитать. Плоский конденсатор представляет собой две проводящие плоскости площадью S, расстояние между которыми d значительно меньше линейных размеров плоскости. Так как σ=q/S, E= σ/ε₀ и U=Ed, то q=(ε₀S/d)U, т.е. емкость плоского конденсатора составляет C= ε₀S/d.

Заряды на пластинах конденсатора притягиваются друг к другу. Чтобы зарядить конденсатор зарядам нужно сообщить потенциальную энергию. Энергия, запасенная в конденсаторе, составляет

W_эл=CU²/2=q²/2C.

Отношение энергии, запасенной в конденсаторе, к его объему, представляет собой плотность энергии электрического поля w_эл.

Диэлектрики в электрическом поле

В диэлектриках нет свободных зарядов, но есть связанные заряды, находящиеся внутри составляющих вещество микрочастиц. Под действием внешнего электрического поля эти частицы, а с ними и все вещество диэлектрика приобретает дипольный момент, пропорциональный числу микрочастиц, а следовательно и объему вещества. Отношение дипольного момента вещества диэлектрика к его объему называют вектором поляризации . Нормальная к поверхности диэлектрика составляющая вектора поляризации определяет поверхностную плотность связанных зарядов σ_пол= -Р_n. Эти заряды называют поляризаци-онными. Полный поляризационный заряд внутри диэлектрика при однородной по объему поляризации тогда составит q_пол= При наличии поляризационных зарядов в теорему Гаусса нужно включать все заряды, включая и поляризационные:

.

Выразив поляризационный заряд через вектор поляризации, теорему Гаусса для диэлектриков можно представить в виде:

.

Вектор называют индукцией электрического поля. Теорема Гаусса для вектора индукции имеет вид:

т.е. поток вектора индукции через произвольную замкнутую поверхность равен полному свободному заряду q находящемуся внутри этой поверхности.

Вектор поляризации является некоторой функцией напряжености поля. Опыт показывает, что в большинстве практически интересных случаев . Коэффициент α называют поляризуемостью среды, а коэффициент ε=1+α – относительной диэлектрической проницаемостью среды. Тогда .

Плотность энергии электрического поля составляет

.

На границе раздела двух сред имеют место граничные условия, выражающие непрерывность нормальной к поверхности раздела проекции индукции и тангенциальной проекции напряженности:

D_n2= D_n1 , E_t2=E_t1

Первое из этих условий является следствием теоремы Гаусса для индукции, а второе – теоремы о циркуляции для напряженности электрического поля.

Задачи

9. В точке на границе раздела стекла и воздуха напряженность поля в воздухе составляет E₀=10 В/м, а угол между вектором напряженности и нормалью к поверхности составляет α=30˚.Определить вблизи той же точки напряженность поля в стекле и поверхностную плотность поляризационных зарядов. Диэлектрическая проницаемость стекла ε.

Решение.

Пусть Е₁ – напряженность элекрического поля в стекле, β - угол между направлением вектора напряженности в стекле и нормалью. Тангенциальная составляющая напряженности в воздухе E_t1= E₀sinα, в стекле – E_t2=E₁sinβ. Нормальная составляющая вектора индукции в воздухе D_n1= ε₀E₀cosα, в стекле D_n2= εε₀E₁ cosβ. Условия непрерывности тангенциальной составляющей напряженности и нормальной составляющей индукции на границе раздела:

E₀sinα= E₁sinβ

ε₀E₀cosα= εε₀E₁ cosβ

Разделив первое из уравнений на второе, получим

tgβ=εtgα.

Из первого уравнения найдем

Е₁=Е₀ sinα/sinβ