Решение

Пусть скорость рамки v, тогда за время dt площадь контура, ограниченного стержнями, проводником и перемычкой, изменяется на величину dS=Lvdt. Магнитный поток через этот контур изменяется на величину d=BLvdt, при этом в контуре возбуждается ЭДС индукции,

ЭДС=BLv,

благодаря чему в контуре начинает течь ток I=ЭДС/R=BLv/R. Со стороны магнитного поля на перемычку с током действует сила Ампера F=BLI=(BL)²v/R. По правилу Ленца эта сила препятствует изменению магнитного потока, т.е. направлена вверх. Кроме силы Ампера на перемычку действует сила веса, направленная вниз. Второй закон Ньютона для движения перемычки имеет вид

Скорость достигает максимальной величины, когда полная сила становится равной нулю:

v_макс=mgR/(BL)²

Подставляя численные значения, получим v_макс=0.02 9.8 0.05/(0.1 0.1)² = 98 м/с

25. Соленоид представляет собой полый цилиндр радиуса R и длины L, на поверхность которого плотно намотан в один слой тонкий провод. Отношение числа витков провода в обмотке соленоида к его длине составляет n. Определить индуктивность соленоида, плотность энергии и энергию его магнитного поля, если по его обмотке течет ток I. Провести оценки для следующих величин: R=1 см, l=50 см, n=15 витков/см, I=1 А.

Решение

Индукция магнитного поля внутри соленоида составляет B= ₀nI, вне соленоида B=0, напряженность магнитного поля H= nI. Магнитный поток через один виток составляет ₁=BS=R² ₀nI. Всего соленоид содержит N=nl витков. Полный магнитный поток через все витки соленоида =₁N=₀ R²ln²I=LI. Отсюда видно, что коэффициент самоиндукции соленоида есть L=₀ R²ln². Энергия магнитного поля соленоида W_магн= LI²/2=₀ R²ln² I²/2. Так как объем соленоида V= R²l, плотность энергии магнитного поля в соленоиде w_магн = W_магн/V=₀n² I²/2=BH/2

Последний результат имеет общий характер: плотность энергии магнитного поля есть

w_магн =,

независимо от того, каким образом это поле создается.

Квазистационарные токи. Электрические колебания.

Цепи переменного тока могут содержать три типа элементов: резисторы, конденсаторы и индуктивности. Если линейный размер цепи l достаточно мал, а характерное время T изменения токов и напряжений в цепи достаточно велико, так что l<<cT, где c=3 10⁸ м/с – скорость распространения электромагнитных волн, то можно считать, что соотношения между мгновенными величинами токов и напряжений в цепи будут такими же, как и для постоянных токов, но с учетом двух отличий. Первое – вследствие закона сохранения количества электричества изменение заряда на конденсаторе dq происходит только вследствие протекания электрического тока I в течение времени dt: dq=Idt. Второе – вследствие закона электромагнитной индукции и правила Ленца на индуктивных элементах существует разность потенциалов, препятствующая изменению тока в цепи. При выполнении условия l<<cT токи называют квазистационарными. Для квазистационарных токов в точках разветвления цепи можно пользоваться без изменений первым правилом Кирхгофа:

 I_i=0.

При пользовании вторым правилом Кирхгофа нужно учитывать разность потенциалов не только на резисторах, но и на емкостных и индуктивных элементах цепи:

U_R=IR, U_C=q/C, U_L=LdI/dt.

Цепь, содержащая емкостный и индуктивный элементы, называют колебательным контуром без потерь. Цепь, содержащая элементы всех трех типов, называют колебательным контуром с потерями. При действии в контуре внешней ЭДС, изменяющейся во времени, уравнение движения для напряжения на конденсаторе U_C  U следующее:

U_L+ U_R+ U_C= Є(t), или = Є(t)

Введя обозначения , , это уравнение можно переписать в виде

Є(t)

Частота ₀ – это частота собственных колебаний в контуре без потерь,  называют частотой затухания. Если внешняя ЭДС в контуре не действует, то колебания в нем называют свободными. Уравнение свободных колебаний имеет вид