Доведення

Необхідність. Нехай точка є правильною для функції . Це означає, що і аналітична в ньому функція , яка співпадає з нашою в цьому проколеному околі. Ми можемо вважати, що цей окіл є для функції замкненим кругом. А значить, оскільки функція в замкненому околі є неперервною, то вона є тут і обмеженою, а отже, такою буде і їй рівна функція .

Достатність. Припустимо, що функція обмежена в деякому околі точки . Оскільки ця функція аналітична в кільці , то її в цьому кільці можна розкласти в ряд Лорана, коефіцієнти якого обчислюються за формулою (6), з якої будемо мати:

.

Звідси і з обмеженості нашої функції в цьому околі якимось числом будемо мати:

. (1)

В нерівності (1) накладається лише одна умова: . Розглянемо нерівність (1) для і перейдемо в цій нерівності до границі, коли . Одержимо, що , а отже, і при . А це означає, що ряд Лорана буде мати вигляд,

і функція буде аналітичною функцією в області . Отже, точка - правильна. Теорема доведена.

Таким чином, для кожної з інших особливих точок мала б бути необмеженість функції в околі такої точки, або . Неважко здогадатися, що, як випливає з останньої рівності, для інших особливих точок можливі наступні ситуації:

1. при − (в цьому випадку є нескінченна границя функції),

2. немає ніякої (ні скінченої, ні нескінченної) границі функції , коли .

Легко переконатися на прикладах, що обидві ці ситуації мають місце для функцій () і ( не існуватиме границі при , бо якщо ми спрямуємо по дійсній осі, то і якщо , то ).

Означення 2. Точку назвемо полюсом функції , якщо існує , в якому вона аналітична всюди, крім точки і .

Наступна теорема дає відповідь на питання як шукати полюс.

Теорема 2. Для того, щоб точка була полюсом функції необхідно і достатньо, щоб ця точка була нулем для функції .

Доведення

Необхідність. Нехай точка − полюс функції . Це означає, що : . Розглянемо функцію . Зрозуміло, що вона аналітична в проколеному околі точки і обмежена в ньому, бо , а отже, точка для цієї функції є правильною і оскільки , то при , і значить функція в точці перетворюється в 0. Отже, точка - це нуль для функції .

Достатність. Нехай функція в точці має нуль. Це означає, що , в якому більше нулів ця функція мати не буде, бо в протилежному випадку за внутрішньою теоремою єдності ми мали б, що функція є нульовою константою. І при в межах цього околу , а тому . Тому точка буде для функції полюсом. Теорема доведена.

Доведена щойно теорема дає можливість ввести поняття кратності полюса. Деяка точка є нулем кратності для функції , якщо , але .

Означення. Назвемо точку полюсом кратності функції , якщо ця точка є нулем цієї ж кратності для функції .

Наступне твердження показує який вигляд має ряд Лорана для функції, яка в точці має полюс кратності .

Теорема 3. Для того, щоб точка була полюсом кратності функції , яка аналітична в кільці необхідно і достатньо, щоб в її розкладі в ряд Лорана в цьому кільці були рівні 0 коефіцієнти , для , а коефіцієнт . Тобто