4.5. Вычисление доверительного интервала

В связи с тем, что операции отбора, подготовки и анализа проб характеризуются определенными погрешности, никогда нельзя утверждать, что полученная в итоге численная характеристика объекта окружающей средых (например, концентрация загрязняющего вещества) является истинной (т.е.х = ). И поскольку результат мониторинга является лишь некоторым приближением к истинному значению измеряемой величины, возникает вопрос о близости полученного значения к истинному. Для ответа на это вопрос используют величину доверительного интервала. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью.

Как уже было сказано, среднее арифметическое значениех, рассчитанное для выборки результатов измерения какого-либо показателя качества продукции, как правило, отличается от истинного среднего  генеральной совокупности, к которой принадлежит эта выборка. Однако, при очень большом числе повторений серии измерений в 100 % всех случаев среднее . должно между некоторыми пределами - и +:

Эти пределы называют доверительным интервалом (ДИ) и могут обозначать x. Указывая ДИ, характеризуют надежность измеренного значения. При этом величину, равную х -  называют нижней границей доверительного интервала, а величину, равную х +  верхней границей доверительного интервала.

Доверительный интервал используют как характеристику среднего значениях, при этом само среднее арифметическое для выборки задается в виде:

(18)

где t(,) – критерий Стьюдента,

 - уровень значимости,  = (1 – Р)/2, где Р – доверительная вероятность,

 – число степеней свободы,  = n - 1

s– стандартное отклонение выборки,

n – число параллельных определенийx.

Границы ДИ справедливы только в том случае, когда выполняется t – распределение, а также гауссово распределение. Поэтому перед определением ДИ рекомендуется проверить серию измерений на нормальность.

Пример. При анализе почвы на содержание нефтепродуктов были определены следующие концентрации, мг/кг: 38,71; 38,90; 38,62; 38,74. Определите доверительный интервал измерений, считая уровень значимости  равным 0,025.

Найдем значение критерия Стьюдента в табл. 2 Приложения. Для этого определим число степеней свободы  и доверительную вероятность Р:

 = n – 1 = 4 – 1 = 3

Р = 1 - 2 = 1 - 20,025 = 0,95

Тогда критерий Стьюдента будет равен t(0,025;3) = 3,18

Для расчета стандартного отклонения найдем выборочное среднее х = 38,74 мг/кг. Отсюда s = 0,12 мг/кг.

Из уравнения (18) доверительный интервал равен .

Таким образом, результаты анализа с соответствующим доверительным интервалом имеют вид: (38,740,19) мг/кг при  = 0,025.

5. Проверка значимости гипотез

В практике мониторинга нередко возникает необходимость сравнения двух средних выборочных значений. Так бывает, когда одну и ту же пробу анализируют разными методами, либо при поиске источника воздействия сравнивают пробы, отобранные в различных местах. В таких случаях важно установить, является ли разница результатов статистически значимой.

К такому роду проверок относится проверка так называемой нуль-гипотезы. Нуль-гипотеза – это предположение о том, что различие между двумя численно неравными величинами носит чисто случайный характер, т.е. что в статистическом смысле эти величины равны. Вероятность появления наблюдаемого расхождения в результате случайных ошибок оценивают по законам статистики. Если расхождение равно или больше расхождения, которое могло бы появиться на заданной доверительной вероятности, нуль гипотеза не принимается и расхождение считается значимым. В зависимости от требуемой достоверности суждения выбирают ту или иную доверительную вероятность.