Розкриття невизначеності embed Equation.3

При відніманні від нескінченності нескінченність того ж порядку виникає невизначеність виду EMBED Equation.3 . Для її розкриття необхідно перетворити заданий вираз.

Приклад 9. Знайти границю, не користуючись правилом Лопіталя:

1) EMBED Equation.3 ;

2) EMBED Equation.3 .

Розв’язання.

1) EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2) EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Розкриття невизначеностей EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

Невизначеності виду EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 тотожними перетвореннями зводять до попередніх невизначеностей. Зокрема, невизначеність EMBED Equation.3 зводять до невизначеності EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , застосовуючи наступне перетворення:

EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3

Для обчислень іноді стають в нагоді деякі додаткові важливі границі:

EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

Неперервність функції embed Equation.3

Якщо функція EMBED Equation.3 визначена в точці EMBED Equation.3 і існує границя EMBED Equation.3 , яка дорівнює EMBED Equation.3 , то ця функція називається непервною в точці EMBED Equation.3 .

Функція EMBED Equation.3 називається неперервною в точці EMBED Equation.3 , якщо нескінченно малому приросту аргументу ( EMBED Equation.3 ) відповідає нескінченно малий приріст функції ( EMBED Equation.3 ), тобто EMBED Equation.3

Якщо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , то кажуть, що EMBED Equation.3 прямує до EMBED Equation.3 зліва, і записують EMBED Equation.3 .

Якщо EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , то кажуть, що EMBED Equation.3 прямує до EMBED Equation.3 справа, і записують EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3 – границя функції в точці EMBED Equation.3 зліва.

EMBED Equation.3 – границя функції в точці EMBED Equation.3 справа.

Функція має границю в точці, якщо її односторонні границі (границя зліва і границя справа) в цій точці рівні між собою.

Теорема. Функція EMBED Equation.3 неперервна в точці EMBED Equation.3 тоді і тільки тоді, коли EMBED Equation.3 .

Функція називається неперервною на інтервалі (скінченному або нескінченному), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Зауваження. Якщо функція не існує в точці EMBED Equation.3 або не виконується умова теореми про неперервність, то кажуть що функція в точці EMBED Equation.3 має розрив, а EMBED Equation.3 називають точкою розриву функції.

Класифікація точок розриву

Функція EMBED Equation.3 в точці EMBED Equation.3 має розрив І роду (усувний), якщо EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 не існує (рис. 24). В цьому випадку покладають, що EMBED Equation.3 .

EMBED Word.Picture.8 Рис. 24

Приклад 10. Дослідити на неперервність функцію, виявити характер розривів та зробити схематичний рисунок:

EMBED Equation.3

Розв’язання. В точці EMBED Equation.3 функція не існує, тобто в цій точці функція має розрив. Знайдемо границі в цій точці зліва та справа:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Маємо, що EMBED Equation.3 . Тобто в точці EMBED Equation.3 функція має розрив І роду. Розрив в точці EMBED Equation.3 можна „усунути”, якщо покласти EMBED Equation.3 . Так як EMBED Equation.3 , то

EMBED Word.Picture.8 Рис. 25

графіком заданої функції є парабола EMBED Equation.3 з виколотою точкою EMBED Equation.3 (рис. 25).

Функція EMBED Equation.3 в точці EMBED Equation.3 має розрив І роду (неусувний), якщо EMBED Equation.3 В цьому випадку різницю EMBED Equation.3 називають стрибком функції в точці EMBED Equation.3 (рис. 26).

EMBED Word.Picture.8 Рис. 26

Приклад 11. Дослідити на неперервність функцію, виявити характер розривів та зробити схематичний рисунок:

EMBED Equation.3

Розв’язання. Задана функція визначена на множині всіх дійсних чисел. Дослідимо її поведінку в точках EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 . Для цього знайдемо в цих точках односторонні границі та значення функції.

В точці EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 . Оскільки EMBED Equation.3 , то функція неперервна в точці EMBED Equation.3 . В точці EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Так як EMBED Equation.3 , то в точці EMBED Equation.3 функція має розрив І роду (неусувний), тобто в цій точці стрибок (рис. 27).

EMBED Word.Picture.8 Рис. 27

Функція EMBED Equation.3 в точці EMBED Equation.3 має розрив ІІ роду, якщо хоча б одна з границь EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 дорівнює нескінченності (рис. 28) або не існує.

EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8

а) б) в)

Рис. 28

Приклад 12. Дослідити на неперервність функцію, виявити характер розривів та зробити схематичний рисунок:

EMBED Equation.3

Розв’язання. Задана функція неперервна при всіх дійсних значеннях EMBED Equation.3 , окрім EMBED Equation.3 , оскільки при цьому значенні знаменник дробу EMBED Equation.3 дорівнює нулю. Отже, в точці EMBED Equation.3 функція має розрив. Дослідимо характер розриву. Для цього знайдемо односторонні границі:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

Оскільки границя справа дорівнює нескінченності, то в точці EMBED Equation.3 функція має розрив другого роду.

Для зображення функції дослідимо її ще при EMBED Equation.3 :

EMBED Equation.3 .

Враховуючи, що EMBED Equation.3 не існує, при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , при EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , побудуємо графік заданої функції (рис. 29).

EMBED Word.Picture.8 Рис. 29