Границя функції
Число
EMBED Equation.3
називається границею
функції
EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
прямуючим до EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3
),
якщо для всіх значень EMBED Equation.3
,
які достатньо мало відрізняються від
EMBED Equation.3
,
відповідні значення функції EMBED
Equation.3
достатньо мало
відрізняються від
числа EMBED Equation.3
,
і записується це так
EMBED
Equation.3
або EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
Зауваження:
1)
EMBED Equation.3
– може бути скінченним числом або EMBED
Equation.3
.
2) Якщо
функція має границю при EMBED Equation.3
,
то тільки одну.
3) Якщо
значення функції EMBED Equation.3
прямують до EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
,
то кажуть, що границею функції при EMBED
Equation.3
є нескінченність і записують EMBED
Equation.3
.
Функція
EMBED Equation.3
називається нескінченно
великою при
EMBED Equation.3
,
якщо
EMBED
Equation.3
Функція
EMBED Equation.3
називається нескінченно
малою при
EMBED Equation.3
,
якщо
EMBED
Equation.3
Зауваження:
1) якщо
EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
,
то EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
;
2) якщо
EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
,
то EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
.
Властивості границі
1)
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
2)
EMBED Equation.3
3)
EMBED Equation.3
4)
EMBED Equation.3
5)
EMBED Equation.3
6)
EMBED Equation.3
7)
EMBED Equation.3
8)
EMBED Equation.3
Теорема. Якщо функція монотонно зростає (убуває) і обмежена зверху (знизу), то вона має границю.
Методи обчислення границь
Для
безпосереднього знаходження границі
EMBED Equation.3
,
не користуючись правилом Лопіталя (див.
розділ IV),
у вираз під знаком границі підставляють
замість EMBED Equation.3
його граничне значення EMBED Equation.3
і обчислюють використовуючи властивості
границі та співвідношення нескінченно
великих і нескінченно малих функцій.
Приклад 3. Знайти границі, не користуючись правилом Лопіталя:
1)
EMBED Equation.3
;
2)
EMBED Equation.3
;
3)
EMBED Equation.3
.
Розв’язання.
1) Підставляючи
у заданий вираз
EMBED Equation.3
,
отримаємо
EMBED
Equation.3
2) Так
як безпосереднім підставленням отримуємо,
що EMBED
Equation.3
при EMBED
Equation.3
,
EMBED
Equation.3
при EMBED
Equation.3
,
то, враховуючи співвідношення для
нескінченно великих і нескінченно малих
функцій,
EMBED Equation.3
при EMBED
Equation.3
.
Отже
EMBED
Equation.3
3) Безпосередньо
підставляючи отримуємо, що при
EMBED Equation.3
EMBED
Equation.3
,
тоді EMBED
Equation.3
при EMBED
Equation.3
:
EMBED
Equation.3
.
Якщо
при
знаходженні границі
EMBED Equation.3
маємо, що
EMBED Equation.3
і EMBED
Equation.3
,
то отримуємо невизначеність
виду EMBED Equation.3
.
Аналогічно, з’являються інші види невизначеностей.