Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Розділ iіі Вступ до математичного аналізу

Функції однієї змінної

Змінна величина називається функцією незалежної змінної , якщо кожному значенню із деякої множини поставлено у відпо-відність єдине значення .

Якщо є функцією від , то записують .

Змінна називається аргументом функції .

Вираз означає те значення , яке приймає функція при .

Множина , що є сукупністю значень незалежної змінної , для яких визначаються значення залежної змінної , називається областю визначення функції (або областю існування).

Геометрично, область визначення функції є проекцією графіка функції на вісь .

Приклад 1. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Враховуючи, що

• вираз під коренем парного степеня повинен бути невід’ємним,

• вираз, що є аргументом логарифма, повинен бути додатним,

• вираз знаменника дробу не повинен дорівнювати 0,

• модуль виразу, що є аргументом арксинуса, повинен бути , маємо систему нерівностей

Отже, область визначення функції:

Сукупність значень , які відповідають всім значенням , називається областю значень (або областю зміни) функції.

Функція називається однозначною, якщо кожному значенню відповідає одне єдине значення , в протилежному випадку – многозначною.

Елементарними функціями називаються степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернено тригонометричні, гіперболічні функції, а також функції, що отримуються із вище перерахованих за допомогою арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозиції (операції взяття функції від функції), що застосовуються скінченне число разів.

Основні елементарні функції і їх графіки

Степенева функція	Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
Показникова функція , Частинний випадок: експоненціальна функція	Рис. 7 Рис. 8
Логарифмічна функція , Частинний випадок: натуральний логарифм ()	Рис. 9 Рис. 10
Тригонометричні функції	Рис. 11 Рис. 12 EMBED Word.Picture.8 Рис. 13 EMBED Word.Picture.8 Рис. 14
Обернено тригонометричні функції	EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 15 Рис. 16 EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 17 Рис. 18
Гіперболічні функції	EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 19 Рис. 20 EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8 Рис. 21 Рис. 22

Зауваження:

1) Графік функції EMBED Equation.3 отримується паралельним перенесенням графіка функції EMBED Equation.3 вздовж осі EMBED Equation.3 на величину EMBED Equation.3 у додатному напрямку при EMBED Equation.3 і у від’ємному напрямку при EMBED Equation.3 .

2) Графік функції EMBED Equation.3 отримується паралельним перенесенням графіка функції EMBED Equation.3 вздовж осі EMBED Equation.3 на величину EMBED Equation.3 у додатному напрямку при EMBED Equation.3 і у від’ємному напрямку при EMBED Equation.3 .

3) Графік функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 отримується із графіка функції EMBED Equation.3 стиском його в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) або розтягненням в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) вздовж осі EMBED Equation.3 .

4) Графік функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 отримується із графіка функції EMBED Equation.3 розтягненням його в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) або стиском в EMBED Equation.3 разів (при EMBED Equation.3 ) вздовж осі EMBED Equation.3 .

5) Графік функції EMBED Equation.3 отримується симетричним відображенням графіка функції EMBED Equation.3 відносно осі EMBED Equation.3 .

6) Графік функції EMBED Equation.3 отримується симетричним відображенням графіка функції EMBED Equation.3 відносно осі EMBED Equation.3 .

Приклад 2. Побудувати графік функції EMBED Equation.3 , виді-ливши повний квадрат та перетворюючи графік EMBED Equation.3 .

Розв’язання. Перетворимо праву частину заданої функції наступним чином:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Отже, задану функцію можна записати так: EMBED Equation.3 Графіком цієї функції є парабола, яка отримується із параболи EMBED Equation.3 розтягненням її вздовж осі EMBED Equation.3 в 2 рази і паралельним перенесенням вздовж осі EMBED Equation.3 на 1 одиницю вліво та вздовж осі EMBED Equation.3 на 3 одиниці вгору (рис. 23).

EMBED Word.Picture.8 Рис. 23