4.1. Нисходящий разбор с возвратами

В алгоритме используется два магазина L1 и L2 и счетчик с текущей позицией входного указателя. Для описания алгоритма воспользуемся стилизованными обозначениями, похожими на описания конфигурации МП-автомата.

Алгоритм 4.1. Алгоритм нисходящего разбора с возвратами.

Вход. Не леворекурсивная КС-грамматика G = (N, , P, S) и входная цепочка  = a₁, a₂, , a_n (n  0). Предполагается что правила из P пронумерованы числами 1, 2 , , p.

Выход. Левый разбор цепочки , если он существует, или слово “ошибка” в противном случае.

Метод.

(1) Для каждого нетерминала А  N упорядочить его альтернативы. Пусть А _j - индекс j-ой альтернативы нетерминала А.

(2) Четверкой (q, i, , ) будем обозначать конфигурацию алгоритма, где:

(а) q - состояние алгоритма;

(б) i - позиция входного указателя (предполагается, что (n+1)-ым “входным символом” служит правый концевой маркер $);

(в)  - содержимое первого магазина (L1);

(г)  - содержимое второго магазина (L2).

Будем считать, что верх первого магазина расположен справа, а второго - слева.

Магазин L2 служит для представления “текущей” левовыводимой цепочки, то есть той сентенциальной формы, которая получилась к данному моменту разбора в результате развертки нетерминалов. Верхний символ в L2 будет символом, помечающим активную вершину порожденного к данному моменту частично дерева левого выхода. В L1 представлена текущая история проделанных выборов альтернатив и входные символы, по которым прошла входная головка. Алгоритм имеет три состояния: q- нормальной деятельности, b-возврата, t – заключительное состояние.

(3) Начальная конфигурация алгоритма: (q, 1, , S$).

(4) Существует шесть типов шагов. Эти шаги будут описаны в терминах их воздействия на конфигурацию алгоритма. Запись (q, i, , ) (q, i, , ) означает что если (q, i, , ) - текущая конфигурация, то нужно перейти в следующую конфигурацию (q, i, , ). Если не оговорено противное, то и i - число от 1 до (n+1), (I)^*, где I - множество индексов альтернатив, (N)^*.

Шесть шагов определяется так:

(а) Разрастание дерева

(q, i, , A) (q, i, A₁, ₁), где A₁ правило из P и ₁ - первая альтернатива нетерминала A, а A₁ – ее индекс. Этот шаг соответствует разрастанию частичного дерева вывода, при котором применяется первая альтернатива самого левого нетерминала дерева.

(б) Успешное сравнение входного символа с порожденным символом

(q, i, , a) (q, i+1, а, ), при условии, что а _i= а (i  n). Если i-ый входной символ совпадает с очередным порожденным терминалом, то терминал передается из L2 в L1, а позиция указателя увеличивается на единицу.

(в) Успешное завершение

(q, n+1, , $) (t, n+1, , ). Достигнут конец входной цепочки и найдена левовыводимая цепочка, совпадающая с входной. Левый разбор входной цепочки восстанавливается по цепочке  с помощью гомоморфизма h, где h(a)=, для всех а   и h(A _j)=p, где p - номер правила А   и  - j-ая альтернатива нетерминала А.

(г) Неудачное сравнение входного символа с порожденным символом

(q, i, , а) (b, i, , a), при условии, что а _i  а. Надо перейти в состояние возврата b, как только обнаружится, что порожденная левовыводимая цепочка не совпадает с входной цепочкой.

(д) Возврат по входу

(b, i, a, ) (b, i1, , a) для всех а. В состоянии возврата входные символы переносятся назад из L1 в L2.

(е) Испытание очередной альтернативы

(b, i, A_j, _j)

(е1) (q, i, A_j+1, _j+1), если _j+1 - (j+1)-ая альтернатива нетерминала А. (_j в L2 заменяется на _j+1).

(е2) Следующая конфигурация невозможна, если i=1, A=S и S имеет только j альтернатив. (Это условие указывает, что все возможные левовыводимые цепочки, совместимые с входной цепочкой , уже исчерпаны, а ее разбор не найден).

(е3) (b, i, , A) в оставшихся случаях. (Здесь исчерпаны все альтернативы нетерминала A и дальнейший возврат происходит путем удаления A_j из L1 и замены в L2 цепочки _j на A).

Алгоритм выполняется следующим образом:

Шаг 1: Исходя из начальной конфигурации, вычислить последующие конфигурации C₀ C₁ C_i   , пока их можно вычислить.

Шаг 2: Если последняя конфигурация (t, n+1, , ), - выдать h() и остановиться, иначе выдать сообщение об ошибке. 

Пример 4.1.

Рассмотрим работу алгоритма на примере грамматикой G для упрошенных арифметических выражений с правилами:

(1)	Е  ТE	(E1) -	индекс для альтернативы ТE
(2)	Е  Т	(E2)
(3)	T  FТ	(T1)
(4)	T  F	(T2)
(5)	F  a	(F1)

Для входа aa алгоритм вычислит следующую последовательность конфигураций (над символом перехода указан индекс шага алгоритма) :

(q, 1, , E$) ^a (q, 1, E₁, TE$) ^a (q, 1, E₁T₁, FTE$)

^a (q, 1, E₁T₁F₁, aTE$) ^б (q, 2, E₁T₁F₁а, TE$)

^г (b, 2, E₁T₁F₁а, TE$) ^д (b, 1, E₁T₁F₁, аTE$)

^е3 (b, 1, E₁T₁, FTE$) ^е1 (q, 1, E₁T₂, FE$)

^а (q, 1, E₁T₂F₁, aE$) ^б (q, 2, E₁T₂F₁a, E$)

^б (q, 3, E₁T₂F₁a, E$) ^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₁, ТE$)

^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₁T₁, FТE$) ^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₁T₁F₁, aТE$)

^б (q, 4, E₁T₂F₁aE₁T₁F₁a, ТE$) ^г (b, 4, E₁T₂F₁aE₁T₁F₁a, ТE$)

^д (b, 3, E₁T₂F₁aE₁T₁F₁, aТE$) ^е3 (b, 3, E₁T₂F₁aE₁T₁, FТE$)

^е1 (q, 3, E₁T₂F₁aE₁T₂, FE$) ^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₁T₂F₁, aE$)

^б (q, 4, E₁T₂F₁aE₁T₂F₁a, E$) ^г (b, 4, E₁T₂F₁aE₁T₂F₁a, E$)

^д (b, 3, E₁T₂F₁aE₁T₂F₁, aE$) ^е3 (b, 3, E₁T₂F₁aE₁T₂, FE$)

^е3 (b, 3, E₁T₂F₁aE₁, TE$) ^е1 (q, 3, E₁T₂F₁aE₂, T$)

^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₂T₁, FТ$) ^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₂T₁F₁, аТ$)

^б (q, 4, E₁T₂F₁aE₂T₁F₁а, Т$) ^г (b, 4, E₁T₂F₁aE₂T₁F₁а, Т$)

^д (b, 3, E₁T₂F₁aE₂T₁F₁, aТ$) ^е3 (b, 3, E₁T₂F₁aE₂T₁, FТ$)

^е1 (q, 3, E₁T₂F₁aE₂T₂, F$) ^а (q, 3, E₁T₂F₁aE₂T₂F₁, a$)

^б (q, 4, E₁T₂F₁aE₂T₂F₁a, $) ^в (t, 4, E₁T₂F₁aE₂T₂F₁a, )

В результате получается левый разбор h(E₁T₂F₁aE₂T₂F₁a)=145245. 

Корректность приведенного алгоритма можно строго доказать [1].