Глава 10

Управление запасами в условиях риска

10.1. Формализация модели на основе дерева решений

При выборе стратегии управления запасами необходимо учитывать вероятностный характер проявления спроса, а также других факторов, влияющих на экономический результат бизнеса. Здесь будет рассмотрена модель управления запасами продуктов питания. При этом будет показано, как помимо спроса, среди таких факторов можно дополнительно учитывать следующие: случайные объемы реализации остатка продукции (что обусловливается ограничением ее срока годности и решениями ЛПР относительно предлагаемой скидки), транспортный брак во время доставки продукции.^*3)

Мы ограничиваемся указанными факторами, чтобы не усложнять чрезмерно соответствующее дерево решений. При желании менеджер может при формализации модели учитывать также и многие другие факторы, которые, в частности, могут быть обусловлены следующим. Как правило, при выборе оптимальной стратегии (оптимального объема заказа/производства) для поставки продуктов питания торговая компания сталкивается со следующей дилеммой. С одной стороны, если заказы клиентов на отгрузки продукции не будут выполняться из-за отсутствия запасов на складе, то это может привести к снижению «уровня сервиса» и, как следствие, потере клиентов в будущем. С другой стороны, если компания закажет (произведет) намного больше, чем будет возможность продать, то ей придется утилизировать нереализованную продукцию с истекшим сроком годности. В этих условиях выбор размера заказа равного ожидаемому прогнозу спроса может показаться менеджеру наиболее правильным решением. Однако, такой вывод может оказаться поспешным. Проиллюстрируем это в формате следующей ситуации.

Пример 10.1. Рассмотрим ситуацию, когда компании необходимо определить объем заказа на производство кисломолочной продукции со сроком годности два месяца. По истечении половины этого срока клиенты могут купить продукцию только частично и при наличии большой скидки. Приведем атрибуты рассматриваемой модели. Закупочная стоимость 1 паллеты⁴ продукции – 30 тысяч рублей. Отпускная цена клиентам– 45 тысяч рублей. Известно, что согласно данным прогноза на следующий месяц, спрос на данную продукцию составляет 330 паллет. В связи с графиком производства запасы не могут пополняться в течение месяца после поставки (такая ситуация будет иметь месть, например, если на производственных линиях поочередно запускают различные наименования товаров). Пусть рассматриваются три возможные альтернативы для объема заказа:

• заказать 330 паллет согласно прогнозу спроса;

• заказать меньше на 33 паллеты (соответствует вместимости 1 грузового транспортного средства машины), чтобы снизить вероятность потерь вследствие истечения срока годности остатков продукции;

• заказать на 33 паллеты больше, чтобы наверняка обеспечить достаточный уровень сервиса по поставкам клиентам.

Существенными потерями для компании являются, с одной стороны, порча более 33 паллет продукции вследствие истечения срока годности, с другой стороны, потери от оказания недостаточного уровня сервиса, который составляет 95 (соответствует в данном случае невозможности обеспечить заказы, как минимум на 95% от всех поступивших заказов). К таким потерям можно отнести, например, штрафы по договорам поставки, потери продаж в будущем и другие. В формате представленной ситуации формализуемая модель предполагает, что требуется рассмотреть следующие сценарии существенного для компании отклонения спроса от объема заказа.

• Величина объема заказа меньше, чем 95% от величины спроса. В этом случае компания несет условные потери равные 15тысяч рублей за каждую паллету из невыполненных заказов.

• Спрос на 33 паллеты меньше, чем объем заказа. В этом случае потери составляют полную стоимость нереализованной продукции, так как до момента возникновения новых заказов срок годности продукции истечет.

На основе статистических данных известно следующее.

I. При заказе на 33 паллеты меньше ожидаемого спроса (заказ на 297 паллет) в модели приняты следующие сценарии реализации спроса:

• с вероятностью 2% спрос будет меньше 264;

• с вероятностью 26% спрос будет в интервале от 264 до 313;

• с вероятностью 72% спрос будет больше 313

Подчеркнем, что здесь формализованы именно такие интервалы для сценариев, поскольку они являются наиболее важными для компании. В случае реализации первого сценария на складе останется более 33 паллет нереализованной продукции, в случае реализации последнего сценария, компания не сможет обеспечить необходимый уровень сервиса, и будет нести существенные потери. В интервале реализации спроса между 264 и 313 паллетами (второй сценарий) потери являются незначительными для компании и ими можно пренебречь в рамках анализируемой модели.

II. При заказе 330 паллет согласно прогнозу возможны следующие сценарии реализации спроса:

• с вероятностью 16% спрос будет меньше 297;

• с вероятностью 56% спрос будет в интервале от 297 до 347;

• с вероятностью 28% спрос будет больше 347.

III. При заказе на 33 паллеты больше ожидаемого спроса (заказ на 363 паллет) соответственно имеем:

• с вероятностью 54% спрос будет меньше 330;

• с вероятностью 42% спрос будет в интервале от 330 до 382;

• с вероятностью 4% спрос будет больше 382.

Если после реализации продукции на складе остается определенное количество продукции, то у компании есть возможность частично покрыть свои потери за счет продажи остатков со скидкой. Анализируются следующие альтернативные решения относительно размера устанавливаемой скидки (для упрощения модели в ней принято, что достаточно каждому из них сопоставить только два сценария для объемов продаж остатков).

А) При установлении скидки в размере 50% от цены продукции возможны следующие сценарии развития событий по продаже остатков продукции:

• в 40% случаев компания продаст 80% от оставшегося на складе товара;

• в 60% случаев – только 50%.

Б) При установлении скидки в размере 70% от цены продукции соответственно анализируются сценарии:

• в 65% случаев компания продаст 80% от оставшегося на складе товара;

• в 35% случаев – только 50%.

Модель также должна учитывать риски доставки продукции до клиента. При транспортировке (ее осуществляет компания самостоятельно) существует вероятность повреждения продукции (брака) в соответствии со следующими возможными сценариями. В 90% случаев брака не бывает. В 8% случаев брак не превышает 5 000 рублей на 1 машину (33 паллеты). В 2% случаев брак составляет 30 000 рублей на 1 машину (33 паллеты).

Формализация дерева решений. Представим необходимость выбора объема заказа вершиной прямоугольного типа. С ней связаны дугами (дуги соответствуют различным трем альтернативным решениям) три вершины круглого типа «Фактор спроса» (далее «Фактор R»). Если после продажи у компании останется продукция на складе, то необходимо будет принять решение относительно размера скидки. Такая ситуация должна быть представлена в формате дерева решений вершиной прямоугольного типа. Поэтому, из каждой из вершины «Фактор R» в случае реализации сценария с остатком продукции исходит по одной вершине прямоугольного типа. Это вершины «Скидка на остатки продукции». Кроме того, из вершины «Фактор R» также исходят две вершины круглого типа для двух указанных в описании задачи сценариев, при которых спрос не меньше объема заказа. В этом случае формат рассматриваемой модели управления рисками требует учета брака при поставке. Поэтому указанные вершины круглого типа обозначены как «Фактор транспортного брака», или (для упрощения записи) «Фактор B».

Из вершин прямоугольного типа, обозначающих выбор размера скидки на остатки продукции, исходят две вершины круглого типа соответствующие «Фактору объема продаж после скидки» (далее «Фактор S»). В свою очередь из каждой из этих вершин исходят вершины круглого типа «Фактор B» для учета возможных сценариев реализации брака при поставке продукции.

Таким образом, построенное дерево решений состоит из четырех вершин прямоугольного типа и двадцати семи вершин круглого типа. Из каждой вершины «Фактор B» исходят по три концевых вершины типа D, соответствующие трем сценариям реализации брака поставки B₁, B₂ и B₃. На рис.10.1(а) и 10.1(б) приведена структура такого дерева решений с учетом всех требований модели. Для нахождения оптимального решения в условиях риска предварительно требуется реализовать процедуры параметризации такого дерева решений.

Рис.10.1(б) Структура дерева решений

Процедуры параметризации. Отметим на дереве решений вероятности событий, соответствующие ребрам, исходящим из вершин круглого типа. Согласно условию, для каждой вершины «Фактор B» существует три исхода: B₁ с вероятностью 0,9; B₂ с вероятностью 0,08 и B₃ с вероятностью 0,02. В формате вершины «Фактор S» для варианта скидки 50% предусмотрено два исхода: S₁ с вероятностью 0,4 и S₂ с вероятностью 0,6. Для варианта скидки 70% вероятности будут отличаться: 0,65 при исходе S₁ и 0,35 при исходе S₂.

Для каждой траектории, заканчивающейся конкретной концевой вершиной D, необходимо рассчитать значения экономических результатов. Рассмотрим сначала траекторию, которая начинается с выбора альтернативы Q₁: Q₁→R₁₁→B₁. Эта траектория отражает следующую цепь событий: компания заказывает 297 паллет продукции; заявки (спрос) поступают более чем на 313 паллет; транспортировка до клиента происходит без повреждения товара. Так как компания не может поставить больше продукции, чем имеется в наличии, то объем реализации при большем значении спроса равен 297 паллет по цене 45 тыс.руб. При этом уровень сервиса низкий ((297/313)·100%<95% ), значит компания будет нести потери от низкого уровня сервиса. Таким образом, для концевой вершины D₁ результат будет следующим: D₁ = 297·45-297·30-15·(313-297) = 4215 тыс.руб.

Аналогичный результат для траектории Q₁→R₁₁→B₂ будет отличаться только на стоимость продукции, поврежденной во время транспортировки. Учтем, что согласно сценарию B₂ потери в среднем на каждую машину вместимостью 33 паллеты составляют 5 тыс.руб. Поэтому имеем: D₂ = 297·45 - 297·30 -15·(313 - 297) - 5·(297/33) = 4170 тыс.руб.

Для траектории Q₁→R₁₁→B₃ стоимость брака выше, чем для предыдущей траектории. Она составляет 30 тыс.руб. в среднем на каждую машину. Поэтому в такой ситуации для конечного результата получаем: D₃ = 297·45 - 297·30 -15·(313 - 297) - 30·(297/33) = 3945 тыс.руб. Аналогичным образом рассчитаем конечный результат для траекторий, проходящих через R₁₂, т.е. при величине спроса в таких пределах, когда компания не несет дополнительных потерь. Для траектории Q₁→R₁₂→B₁ конечный результат составит: D₄ = 297·45 - 297·30 = 4455 тыс.руб. Для траектории Q₁→R₁₂→B₂ получаем: D₅ = 297·45 - 297·30 - 5· (297/33) = 4410 тыс.руб. Для траектории Q₁→R₁₂→B₃: D₆ = 297·45 - 297·30 - 30·(297/33) = 3294 тыс.руб.

Обратим внимание на следующее. В случае исхода R₁₃ величина спроса меньше заказанной продукции и компании необходимо выбрать между двумя альтернативными вариантами скидок на остатки продукции, которые останутся после реализации. Стоимость всей продукции, которая останется после продажи со скидкой, будет относиться к невозвратным потерям. Для траектории Q₁→R₁₃→A₁→S₁→B₁ при выборе скидки в размере 50% (от ее цены) и при продаже 80% от остатков продукции (сценарий S₁: s = 26 паллет) конечный вариант будет равен: D₇ = 264·45 - 297·30 + 26·(0,5·45) = 3564 тыс. руб. Для траекторий Q₁→R₁₃→A₁→S₁→B₂ и Q₁→R₁₃→A₁→S₁→B₃ увеличится размер потерь от транспортного брака. Поэтому имеем: D₈ = 264·45 - 297·30 + 26· (0,5•45) - 5· (264/33) = 3524 тыс. руб. D₉ = 264·45 - 297·30 + 26· (0,5·45) - 30· (264/33) = 3324 тыс.руб.

При продаже 50% от остатков продукции (сценарий S₂: s = 17 паллет) для соответствующих конечных результатов (см. рис. 10(б)) имеем:

D₁₀ = 264·45 - 297·30 + 17· (0,5·45) = 3341 тыс. руб.

D₁₁ = 264·45 - 297·30 + 17· (0,5·45) - 5· (264/33) = 3301 тыс.руб.

D₁₂ = 264·45 - 297·30 + 17· (0,5·45) - 30· (264/33) = 3101 тыс.руб.

Аналогично можно рассчитать значения экономических результатов, если будет установлена скидка в 70%. Представим соответствующие расчеты:

D₁₃ = 264·45 - 297·30 + 26·(0,3·45) = 3802 тыс. руб.

D₁₄ = 264·45 - 297·30 + 26·(0,3·45) - 5·(264/33) = 3762 тыс. руб.

D₁₅= 264·45 - 297·30 + 26·(0,3·45) - 30·(264/33) = 3562 тыс. руб.

D₁₆ = 264·45 - 297·30 + 17·(0,3·45) = 3490 тыс. руб.

D₁₇ = 264·45 - 297·30 + 17·(0,3·45) - 5·(264/33) = 3450 тыс. руб.

D₁₈ = 264·45 - 297·30 + 17·(0,3·45) - 30·(264/33) = 3250 тыс. руб.

Для наглядности соответствующие расчеты сведены в таблицу 10.1. Для траекторий, соответствующих решениям Q₂ и Q₃, расчеты значений конечного результата приведены в таблицах 10.2. и 10.3. Соответствующее дерево решений после реализации процедур параметризации представлено на рис. 10.2 (а-б).

Таблица 10.1. Расчет экономического результата для концевых вершин при выборе альтернативы Q₁ : объем заказа 297 паллет

Фрагмент траектории	Вер- шина	Остаток на складе	Уровень сервиса	Скидка (А)	Потери от брака, тыс.руб.	Конечный результат, тыс. руб.
Q1→R11→B1	D1	нет	низкий	0%	0	297•45-297•30-240=4215
Q1→R11→B2	D2	нет	низкий	0%	45	297•45-297•30-45-240=4170
Q1→R11→B3	D3	нет	низкий	0%	270	297•45-297•30-270-240=3945
Q1→R12→B1	D4	нет	достаточный	0%	0	297•45-297•30=4455
Q1→R12→B2	D5	нет	достаточный	0%	45	297•45-297•30-45=4410
Q1→R12→B3	D6	нет	достаточный	0%	270	297•45-297•30-270=4185
Q1→R13→A1→S1→B1	D7	есть	достаточный	50%	0	264•45+(0,5•45)•0,8• ∙33-297•30=3564
Q1→R13→A1→S1→B2	D8	есть	достаточный	50%	40	264•45+(0,5•45)•0,8• •33-297•30-40=3524
Q1→R13→A1→S1→B3	D9	есть	достаточный	50%	240	264•45+(0,5•45)•0,8• •33-297•30-240=3324
Q1→R13→A1→S2→B1	D10	есть	достаточный	50%	0	264•45+(0,5•45)•0,5• •33-297•30=3341
Q1→R13→A1→S2→B2	D11	есть	достаточный	50%	40	264•45+(0,5•45)•0,5• •33-297•30-40=3301
Q1→R13→A1→S2→B3	D12	есть	достаточный	50%	240	264•45+(0,5•45)•0,5• •33-297•30-240=3101
Q1→R13→A2→S3→B1	D13	есть	достаточный	70%	0	264•45+(0,7•45)•0,8• •33-297•30=3802
Q1→R13→A2→S3→B2	D14	есть	достаточный	70%	40	264•45+(0,7•45)•0,8• •33-297•30-40=3762
Q1→R13→A2→S3→B3	D15	есть	достаточный	70%	240	264•45+(0,7•45)•0,8• •33-297•30-240=3562
Q1→R13→A2→S4→B1	D16	есть	достаточный	70%	0	264•45+(0,7•45)•0,5• •33-297•30=3490
Q1→R13→A2→S4→B2	D17	есть	достаточный	70%	40	264•45+(0,7•45)•0,5• •33-297•30-40=3450
Q1→R13→A2→S4→B3	D18	есть	достаточный	70%	240	264•45+(0,7•45)•0,5• •33-297•30-240=3250

Фрагмент траектории	Вер- шина	Остаток на складе	Уровень сервиса	Скидка	Потери от брака, тыс.руб.	Конечный результат, тыс.руб.
Q2→R21→B1	D19	нет	низкий	0%	0	330•45-330•30-255=4695
Q2→R21→B2	D20	нет	низкий	0%	50	330•45-330•30-50-255=4645
Q2→R21→B3	D21	нет	низкий	0%	300	330•45-330•30-300-255=4395
Q2→R22→B1	D22	нет	достаточный	0%	0	330•45-330•30=4950
Q2→R22→B2	D23	нет	достаточный	0%	50	330•45-330•30- 50=4900
Q2→R22→B3	D24	нет	достаточный	0%	300	330•45-330•30-300=4650
Q2→R23→A1→S1→B1	D25	есть	достаточный	50%	0	297•45+(0,5•45)•0,8• •33-330•30=4059
Q2→R23→A1→S1→B2	D26	есть	достаточный	50%	45	297•45+(0,5•45)•0,8• •33-330•30-45=4014
Q2→R23→A1→S1→B3	D27	есть	достаточный	50%	270	297•45+(0,5•45)•0,8• •33-330•30-270=3789
Q2→R23→A1→S2→B1	D28	есть	достаточный	50%	0	297•45+(0,5•45)•0,5• •33-330•30=3836
Q2→R23→A1→S2→B2	D29	есть	достаточный	50%	45	297•45+(0,5•45)•0,5• •33-330•30-45=3791
Q2→R23→A1→S2→B3	D30	есть	достаточный	50%	270	297•45+(0,5•45)•0,5• •33-330•30-270=3566
Q2→R23→A2→S3→B1	D31	есть	достаточный	70%	0	297•45+(0,7•45)•0,8• •33-330•30=4297
Q2→R23→A2→S3→B2	D32	есть	достаточный	70%	45	297•45+(0,7•45)•0,8• •33-330•30-45=4252
Q2→R23→A2→S3→B3	D33	есть	достаточный	70%	270	297•45+(0,7•45)•0,8• •33-330•30-270=4027
Q2→R23→A2→S4→B1	D34	есть	достаточный	70%	0	297•45+(0,7•45)•0,5• •33-330•30=3985
Q2→R23→A2→S4→B2	D35	есть	достаточный	70%	45	297•45+(0,7•45)•0,5• •33-330•30-45=3940
Q2→R23→A2→S4→B3	D36	есть	достаточный	70%	270	297•45+(0,7•45)•0,5• •33-330•30-270=3715

Таблица 10.2. Расчет экономического результата для концевых вершин при выборе альтернативы Q₂ : объем заказа 330 паллет

Таблица 10.3. Расчет экономического результата для концевых вершин при выборе альтернативы Q₃ : объем заказа 363 паллет

Фрагмент траектории	Вер- шина	Остаток на складе	Уровень сервиса	Скидка	Потери от брака, тыс.руб.	Конечный результат, тыс.руб.
Q3→R31→B1	D37	нет	низкий	0%	0	363•45-363•30-285=5160
Q3→R31→B2	D38	нет	низкий	0%	55	363•45-363•30-55-285=5105
Q3→R31→B3	D39	нет	низкий	0%	330	363•45-363•30-330-285=4830
Q3→R32→B1	D40	нет	достаточный	0%	0	363•45-363•30 =5445
Q3→R32→B2	D41	нет	достаточный	0%	55	363•45-363•30-55 =5390
Q3→R32→B3	D42	нет	достаточный	0%	330	363•45-363•30-330=5115
Q3→R33→A1→S1→B1	D43	есть	достаточный	50%	0	330•45+(0,5•45)•0,8• •33-363•30=4554
Q3→R33→A1→S1→B2	D44	есть	достаточный	50%	50	330•45+(0,5•45)•0,8• •33-363•30-50=4504
Q3→R33→A1→S1→B3	D45	есть	достаточный	50%	300	330•45+(0,5•45)•0,8• •33-363•30-300=4254
Q3→R33→A1→S2→B1	D46	есть	достаточный	50%	0	330•45+(0,5•45)•0,5• •33-363•30=4331
Q3→R33→A1→S2→B2	D47	есть	достаточный	50%	50	330•45+(0,5•45)•0,5• •33-363•30-50=4281
Q3→R33→A1→S2→B3	D48	есть	достаточный	50%	300	330•45+(0,5•45)•0,5• •33-363•30-300=4031
Q3→R33→A2→S3→B1	D49	есть	достаточный	70%	0	330•45+(0,7•45)•0,8• •33-363•30=4792
Q3→R33→A2→S3→B2	D50	есть	достаточный	70%	50	330•45+(0,7•45)•0,8• •33-363•30-50=4742
Q3→R33→A2→S3→B3	D51	есть	достаточный	70%	300	330•45+(0,7•45)•0,8• •33-363•30-300=4492
Q3→R33→A2→S4→B1	D52	есть	достаточный	70%	0	330•45+(0,7•45)•0,5• •33-363•30=4480
Q3→R33→A2→S4→B2	D53	есть	достаточный	70%	50	330•45+(0,7•45)•0,5• •33-363•30-50=4430
Q3→R33→A2→S4→B3	D54	есть	достаточный	70%	300	330•45+(0,7•45)•0,5• •33-363•30-300=4180

Рис.10.2(а) Дерево решений после процедуры параметризации

Рис.10.2(б) Дерево решений после процедуры параметризации