
2. Теоретические основы графического метода линейного программирования. Введение в исследование операций
Исследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.
Другими словами, исследование операций — научное направление, целевая установка которого - разработка методов анализа целенаправленных действий (операций) и объективная (в частности, количественная) сравнительная оценка решения.
Операция — любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа её проведения, организации, иначе — от выбора некоторых параметров. Всякий определённый выбор параметров называется решением.
Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.
Эффективность операции — степень её приспособленности к выполнению задачи — количественно выражается в виде критерия эффективности - целевой функции.
Дня применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции.
Экономико-математическая модель - достаточно точное описание исследуемого экономического процесса или объекта с помощью математического аппарата (различного рода: функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.).
Этапы исследования операций
Усложнение производства, техники и организационной структуры общества приводит к тому, что принятие решений и эффективное руководство все больше и больше нуждаются в широкой, точной и быстрой информации, количественной оценке и прогнозе результатов, последствий принятых решений. Назначение методов исследования операций — объективно разобраться в каждом явлении, численно оценить предлагаемые целенаправленные действия и, возможно, предложить варианты решений, отличные от тех, которые рассматривали хозяйственные или другие руководители.
Несмотря на многообразие задач, возникающих в экономике (задача оптимального планирования инвестиций, формирование минимальной потребительской корзины, организация рекламной деятельности, составление штатного расписания, определение специализации предприятия и т.д.), при их решении можно выделить некоторую общую последовательность этапов, через которые проходит любое операционное исследование.
Как правило, это:
-
Постановка задачи.
-
Построение содержательной (вербальной) модели рассматриваемого объекта (операции, процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возможных управляющих воздействий, влияющих на достижение сформулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.
-
Построение математической модели, т.е. перевод сконструированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.
-
Анализ модели или получение решения задачи.
-
Анализ решения, т.е. получение информации об изменениях решения при изменении условий (неуправляемых переменных) функционирования системы. Эту часта исследования обычно называют анализом модели на чувствительность.
-
Проверка полученных результатов на их адекватность, природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная корректировка первоначальной модели.
Реализация полученного решения на практике.
Краткое описание каждого этапа
1,2) Постановка задачи является одним из наиболее важных этапов исследования операций. При постановке задачи исследования операций необходимо определить цель, преследуемую субъектом управления (ЛПР) и установить, значение каких характеристик (управляемых переменных) исследуемой системы (процесса) можно варьировать, а изменение значений каких переменных (неуправляемых) не зависит от решений ЛПР. Кроме того, на данном этапе необходимо определить требования, условия и ограничения на исследуемую операцию. На этом же этапе должны быть решены проблемы информационного обеспечения будущей модели ИО.
3)
Построение модели. На этом этапе
необходимо выбрать модель, наиболее
под ходящую для адекватного описания
ИО. При построении модели должны быть
установлены количественные соотношения
для выражения целевой функции (ЦФ) и
ограничений в виде функций от управляемых
переменных. Наиболее важным типом
моделей ИО являются математические
модели (ММ). В основе их построения лежит
допущение о том, что все переменные,
ограничения, их связывающие, а также
целевая функция количественно измеримы.
Поэтому если
представляют собой n
управляемых переменных, а условия
функционирования исследуемой системы
(ИС) характеризуются m
ограничениями, то ММ может быть
записана в следующем виде:
-
целевая
функция
-
ограничения
-
Анализ модели обычно производится с помощью методов математического программирования.
-
Анализ решения или анализ на чувствительность — это процесс, реализуемый после того, как оптимальное решение задачи получено. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели, т.е. фактически рассматривается совокупность моделей, что придает исследуемой операции определенную динамичность.
-
Решение, полученное при помощи анализа модели, не может, однако, непосредственно быть рекомендовало для практической реализации. Математическая модель, как и любая другая модель, лишь частично отображает действительность, акцентирует отдельные ее аспекты. Адекватность модели исследуемой операции и, следовательно, качество полученного результата можно проверить, сопоставлял результаты, установленные без использования модели, с результатами, вытекающими из анализа модели.
Работы по исследованию операций имеют смысл, если они завершаются внедрением результатов исследования в практику. Важность задач координации научной и производственной деятельности и трудности, связанные с внедрением научных рекомендаций в производство, заставляют рассматривать эти вопросы как отдельный этап в исследовании операций. При этом следует помнить, что задача исследователя операции - подготовить решение, а не принять его. Руководитель, ответственный за решение, должен учитывать помимо рекомендаций исследователя операций, основанных на количественных оценках, и другие факторы, не поддающиеся формализации.
В исследовании операций используется разнообразный математический аппарат. Чаще других методов для анализа моделей операций и подготовки решений используются методы математического программирования, комбинаторного анализа и статистического моделирования.
Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Задача математического программирования (ЗМП) имеет вид:
— целевая
функция
—ограничения
В
зависимости от свойств функций
и
математическое программирование можно
рассматривать как ряд самостоятельных
дисциплин, занимающихся изучением и
разработкой методов решения
определенных классов задач.
Прежде
всего, задачи математического
программирования делятся на задачи
линейного и нелинейного программирования.
При этом если все функции
и
линейные, то соответствующая задача
является задачей
линейного программирования. Бели
же хотя бы одна из указанных функций
нелинейная, то соответствующая задача
является задачей
нелинейного программирования.
Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ.
Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.
В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений, либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.
Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробно-линейного программирования.
В задачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.
В задачах параметрического программирования целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных, либо то и другое зависят от некоторых параметров.
В задачах дробно-линейного программирования целевая функция представляет собой отношение двух линейных функций, а функции, определяющие область возможных изменений переменных, также являются линейными.
Выделяют отдельные классы задач стохастического и динамического программирования.