- •Методичні вказівки та завдання
- •Частина 1
- •Тема1 Ймовірність випадкових подій
- •Тема2 Послідовності випробувань
- •1 Лабораторна робота №1 Ймовірність випадкових подій.....................4
- •1 Лабораторна робота № 1 ймовірність випадкових подій
- •1.1 Алгебра подій
- •1.2 Означення подій
- •1.3 Означення та властивості ймовірності та частості
- •1.4 Основні теореми теорії ймовірностей
- •1.5 Формули повної ймовірності та Байєса
- •1.6 Приклади розв’язання задач
- •1.7 Варіанти самостійного завдання №1
- •1.8 Варіанти самостійного завдання №2
- •1.9 Варіанти самостійного завдання №3
- •1.10 Варіанти самостійного завдання №4
- •1.11 Варіанти самостійного завдання №5
- •1.12 Варіанти самостійного завдання №6
- •1.13 Варіанти самостійного завдання №7
- •1.14 Варіанти самостійного завдання №8
- •2 Лабораторна робота № 2 послідовності випробувань
- •2.1 Схема та формула Бернуллі
- •2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа
- •2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях
- •2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях
- •2.5 Теорема Пуассона
- •2.6 Приклади розв’язання задач
- •2.7 Варіанти самостійного завдання №1
- •2.8 Варіанти самостійного завдання №2
- •2.9 Варіанти самостійного завдання №3
- •2.10 Варіанти самостійного завдання №4
- •3 Література
- •Додаток а а.1 Таблиця значень щільності стандартного нормального розподілу
- •А.2 Таблиця значень функції Лапласа
2 Лабораторна робота № 2 послідовності випробувань
2.1 Схема та формула Бернуллі
Якщо проводяться випробування, в яких ймовірність появи події в кожному випробуванні не залежить від появи або не появи цієї події в інших випробуваннях, то такі випробування називають незалежними відносно події .
Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться рівно разів, дорівнює
, (2.1)
або
, (2.2)
де .
Ймовірність того, що в випробуваннях подія з’явиться: а) менш ніж разів, б) більш ніж разів, в) не менш ніж разів, г) не більш ніж разів знаходять відповідно за формулами:
; (2.3)
; (2.4)
; (2.5)
. (2.6)
2.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа
Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться рівно разів, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше )
, (2.7)
де , .
Таблиця функції для додатних значень наведена в додатку 1, для від’ємних значень користуються цією ж таблицею (функція парна, тому ).
Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , подія з’явиться не менш разів і не більш разів, наближено дорівнює
. (2.8)
- функція Лапласа,
;
Таблиця функцій Лапласа для додатних значень наведена в додатку 2, для значень покладають . Для від’ємних значень використовують цю ж таблицю, враховуючи, що функція Лапласа непарна ().
2.3 Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях
Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює , абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не буде перевищувати додатного числа , наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при :
. (2.9)
2.4 Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях
Число (появи події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ) називають найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуваннях разів, перевищує (або принаймні не менш) ймовірності інших можливих появ або не появ події в незалежних випробуваннях.
Найімовірніше число визначають з подвійної нерівності
, (2.10)
причому:
а) якщо число - дробове, то існує одне найймовірніше число ;
б) якщо число - ціле, то існують два найймовірніших числа і ;
в) якщо число – ціле, то найймовірніше число .
2.5 Теорема Пуассона
Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює (– достатньо мале число), подія з’явиться разів, наближено дорівнює
, (2.11)
де (середнє число появ події в випробуваннях).
Формулу (2.11) називають формулою Пуассона. Її застосовують у випадках, коли , а .
Таблиця значень функції Пуассона знаходиться у додатку 3.