1.8. Открытые и замкнутые множества. Лемма Бореля-Лебега
Определение 1. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.
Определение 2. Множество, у которого все точки являются внутренними, называется открытым.
Определение
3. Совокупность всех
точек прикосновения множества
называется его замыканием
.
Определение 4. Ограниченное замкнутое множество называется компактом.
Лемма (Бореля-Лебега). Всякое открытое множество на числовой оси представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
Теорема 1. Объединение конечного числа и пересечение произвольного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Теорема 2. Дополнение замкнутого множества есть множество открытое.
Теорема 3. Объединение произвольного числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
Перечислим также некоторые следствия, вытекающие из рассмотренных выше определений и утверждений.
1) Конечное множество не имеет предельных точек.
2) Каждое рациональное число является точкой прикосновения множества иррациональных чисел.
3) Каждое действительное число является точкой прикосновения множества рациональных чисел.
4) Пустое множество замкнуто и открыто одновременно.
5)
Множество
не открыто и не замкнуто в
.
6)
Множество
является как открытым, так и замкнутым.
7)
Любая
-окрестность
точки
– открытое множество.
8)
Отрезок
является замкнутым множеством.