1.6. Ограниченные числовые множества.Точные грани числовых множеств

Определение 1. Числовое множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число () такое, что для всех выполняется неравенство ().

Определение 2. Числовое множество, которое ограничено и сверху и снизу, называется ограниченным. Примерами ограниченных числовых множеств являются отрезок, интервал, полуоткрытый промежуток.

Число () называется верхней (нижней) границей множества .

Определение 3. Наименьшая из верхних границ непустого ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью этого множества и обозначается (supremum).

Теорема 1. Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, притом единственную.

Теорема 2. Для того чтобы число было точной верхней гранью непустого числового множества , необходимо и достаточно, чтобы:

1) для всех выполнялось неравенство ;

2) для любого действительного числа нашлось такое , что .

Определение 4. Наибольшая из нижних границ непустого ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается (infimum).

Теорема 3. Непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань, притом единственную.

Теорема 4. Для того чтобы число было точной нижней гранью непустого числового множества , необходимо и достаточно, чтобы:

1) для всех выполнялось неравенство ;

2) для любого действительного числа нашлось такое , что .

Пример 1. Пусть , и , тогда

и .

Этот пример показывает, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Пример 2. Пусть . Докажем, что , .

Решение. Для любого натурального числа имеем , а потому 1 – одна из верхних граней для . Предположим теперь, что . Тогда найдется такое , что . С другой стороны, , а потому при имеем . Из этого неравенства следует, что . Мы нашли, таким образом, элемент , такой, что . Итак, для множества и числа 1 выполнены оба сформулированных выше утверждения, и потому . Само число 1 не принадлежит .

Далее, имеем . Отсюда видно, что при увеличении разность увеличивается. Значит, наименьшее значение разности достигается при , и это значение равно . Таким образом, – наименьший элемент множества , а потому .

1.7. Классификация точек множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 1. Для любого -окрестностью точки называется множество

.

В случае , а в случае .

Определение 2. Проколотой -окрестностью точки называется множество, получающееся удалением точки из ее -окрестности:

.

Определение 3. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность , целиком принадлежащая .

Определение 4. Точка называется граничной точкой множества , если в каждой ее окрестности существуют точки как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие множеству .

Определение 5. Точка называется точкой прикосновения множества , если в каждой ее окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству .

Если точка прикосновения является одной из бесконечностей: , или , то она называется бесконечно удаленной точкой прикосновения.

Очевидно, что все элементы числового множества являются его точками прикосновения. Точками самого множества не исчерпываются, вообще говоря, все его точки прикосновения: могут существовать точки прикосновения и не принадлежащие ему. Например, точки и являются точками прикосновения интервала и не содержатся в нем.

Определение 6. Точка называется предельной точкой множества , если в каждой ее проколотой окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству .

Предельная точка всегда является точкой прикосновения, но не наоборот. Для множества рациональных чисел предельной является каждая точка R, так как в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа.

Определение 7. Точка называется изолированной точкой множества , если у нее существует окрестность, не содержащая других точек множества , кроме самой точки .

Пример. Рассмотрим множество . Для этого множества:

0, 1, 5 – граничные точки;

и – точки прикосновения;

– предельные точки;

5 – изолированная точка.

Определение 8. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.

Определение 9. Множество, у которого все точки являются внутренними, называется открытым.

Определение 10. Совокупность всех точек прикосновения множества называется его замыканием .

Определение 11. Ограниченное замкнутое множество называется компактом.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное числовой множество имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Пусть А – ограниченное множество, тогда существует такой отрезок [c, d], которому принадлежит А. Так как А – бесконечное множество, то хотя бы на одной из двух половин [c, (c+d)/2], [(c+d)/2, d] отрезка [c, d] имеется бесконечное подмножество множества А. Пользуясь этим очевидным предположением, отправляясь от отрезка [c, d] =∆₁ с заданным на нем бесконечным множеством точек А, построим систему вложенных отрезков ∆_n, где каждый последующий отрезок составляет половину предыдущего и несет на себе бесконечное подмножество множества А. По принципу Кантора у этой системы есть общая точка х₀, докажем, что она является предельной для множества А. Возьмём любой интервал V с центром в точке х₀ ,скажем, длины σ>0. Пусть n таково, что длины отрезка ∆_n меньше σ/2. Включая в себя точку х₀, он целиком содержится в интервале V. Вместе с отрезком ∆_n в интервал V попадет бесконечное число точек множества А. Следовательно, х₀ есть предельная точка множества А, что и требовалось доказать.

Эта теорема также выражает принцип полноты числовой прямой, как и леммы Коши-Кантора и Бореля-Лебега.