14. Малі коливання механічних систем. 6 год.

Програма розділу (для самостійного опрацювання): Умови здійснення малих коливань системи. Малі коливання системи з одним ступенем вільності. Вільні коливання. Коливання при наявності сил опору середовища в ідеальних системах. Вимушені коливання. Резонанс. Малі коливання системи з декількома ступенями вільності. Вікове рівняння. Характеристичні частоти. Нормальні координати. Математичний маятник. Плоский математичний маятник. Рівняння руху. Ізохронність коливань.

Рекомендована література:

1. [10 (а), §§ 11.1 – 11.7]

2. [12 (а), §§ 16 – 20]

3. [4 (а), §§ 21 – 30]

4. [3 (а), §§ 38 – 43]

5. [13 (а), §§ 33 – 43; 126 – 134]

6. [7 (а), §§ 25 – 26]

7. [4 (б), с. 200 – 207]

8. [9 (б), с. 188 – 202]

Заняття №1 (практичне)

Тема: Коливання одновимірного гармонійного осцилятора. Малі коливання механічних систем з одним ступенем вільності. Потенціальна й кінетична енергія системи за умови малих коливань біля положення рівноваги. Критерії стійкості рівноважного стану.

Запитання для самоконтролю:

1. Що називають стійким положенням рівноваги механічної системи?

2. Записати умову рівноваги консервативної системи в узагальнених координатах.

3. Дати визначення стійкого та нестійкого положень рівноваги, а також байдужого положення рівноваги та запропонувати відповідні приклади.

4. У чому полягає основний зміст теореми Лагранжа-Діріхлє (критерій стійкості рівноважного стану)?

5. Які питання розв’язуються за допомогою теореми Сильвестра?

6. Яке рівняння називають характеристичним (віковим)?

7. У чому полягає критерій Гурвіца?

8. Що називають одновимірним гармонійним осцилятором?

9. Записати рівняння руху осцилятора.

10. Записати загальний розв’язок рівняння для осцилятора.

11. Записати закон збереження енергії для механічного осцилятора.

12. У якому випадку коливання механічної системи можна вважати малими?

13. Що розуміють під поняттям „коефіцієнт інерції”?

14. Що розуміють під поняттям „коефіцієнт жорсткості”?

15. Записати диференціальне рівняння малих власних коливань системи з одним ступенем вільності.

16. Чому дорівнюють амплітуда, період й частота коливань?

Розв’язати задачі:

В аудиторії: №№ 54–3, 6, 10, 32. [8 (а)]

Додому: №№ 54–2, 4, 7. [8 (а)]

Заняття №2 (семінар)

Тема: Коливання одновимірного гармонійного осцилятора.

План:

1. Вимушені коливання гармонійного осцилятора без тертя.

2. Вільні затухаючі коливання гармонійного осцилятора за наявності сил в’язкого тертя.

3. Явище резонансу. Биття.

Запитання для самоконтролю:

1. Який рух частинки називають одновимірним?

2. Записати умову рівноваги для одновимірного типу руху.

3. Які відхилення від положення рівноваги називають малими?

4. Яку силу називають вимушеною?

5. Записати диференціальне рівняння руху для малих коливань осцилятора під дією вимушеної сили (*).

6. Що являє собою загальний розв’язок цього рівняння (*)?

7. Що являє собою частинний розв’язок цього рівняння (*)?

8. Що називають амплітудою вільних коливань осцилятора?

9. Як визначається резонансна частота вільних коливань осцилятора?

10. Що називають амплітудою коливань осцилятора за наявності сили в’язкого тертя?

11. Як визначається резонансна частота коливань осцилятора за наявності сили в’язкого тертя?

12. Які коливання осцилятора називають аперіодичними?

13. Яке явище називають резонансом?

14. Що називають шириною резонансної кривої?

15. Що називають добротністю коливальної системи?

16. Що називають биттям?

Заняття №3 (практичне)

Тема: малі коливання механічних систем із двома ступенями вільності. Кінетична й потенціальна енергія системи із двома ступенями вільності. Нормальні координати.

Запитання для самоконтролю:

1. Записати рівняння Лагранжа для малих коливань системи із двома ступенями вільності.

2. Скласти алгоритм розв’язку диференціальних рівнянь малих коливань механічної системи з двома ступенями вільності.

3. Чому дорівнює кінетична енергія для малих коливань системи із двома ступенями вільності?

4. Чому дорівнює потенціальна енергія для малих коливань системи із двома ступенями вільності?

5. Що характеризує дисипативна функція? Чому вона дорівнює для малих коливань системи із двома ступенями вільності?

6. Записати рівняння власних коливань системи з двома ступенями вільності.

7. Записати рівняння частот.

8. Яку співвідношення між частотами власних коливань механічної системи з двома ступенями вільності й частотами відповідних парціальних систем?

9. Що називають головними коливаннями й головними координатами системи?

Розв’язати задачі:

В аудиторії: №№ 55–4, 12, 15. [8 (а)]

Додому: №№ 55–2, 5, 7. [8 (а)]