3. Примеры расчёта магнитных полей

На ряде примеров покажем, как можно, используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, рассчитать магнитные поля различных токов.

1. Поле прямолинейного тока

Индукцию магнитного поля бесконечного прямолинейного тока, на расстоянии r от него, мы уже вычисляли и получили результат (8.7):

.

Покажем теперь, что, используя теорему о циркуляции, эту задачу можно решить значительно проще.

Учитывая симметрию задачи, выберем замкнутый контур в виде окружности радиуса r (рис. 9.12.). Этот контур совпадает с магнитной силовой линией, поэтому циркуляцию вектора посчитать не сложно:

.

Рис. 9.12.

Это расчёт циркуляции по определению этой величины. Но согласно теореме о циркуляции, она пропорциональна току I, охватываемому контуром, то есть:

.

Отсюда следует известный уже результат (8.7):

.

2. Поле бесконечного соленоида

Соленоид — это катушка, в которой провод навит на цилиндрический каркас (рис. 9.13.).

Рис. 9.13

Мы рассмотрим поле абстрактного соленоида бесконечной длины.

Можно показать, что поле такого соленоида однородно и сосредоточено только внутри катушки, а вне соленоида магнитное поле отсутствует.

Поле внутри соленоида связано с направлением тока правилом правого буравчика. Выберем контур 1-2-3-4-1, часть которого (1-2) находится внутри соленоида, а часть — снаружи. Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции по этому контуру:

.

Три последние слагаемые равны нулю, поэтому циркуляция оказывается равной произведению Bl. Теперь воспользуемся теоремой о циркуляции:

.

Здесь алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром, равна:

,

где: I — ток в соленоиде;

l — длина стороны контура;

n — число витков на единице длины соленоида.

Таким образом:

Bl = µ₀Inl,

откуда следует, что:

B = µ₀nI. (9.17)

Индукция магнитного поля соленоида пропорциональна силе тока I и числу витков n на единице длины соленоида.

3. Поле тороида

Тороид — это катушка в форме тора.

Выберем замкнутый контур в виде окружности радиуса r с центром, расположенным в центре тора. Выбранный контур проходит внутри тора. Учитывая симметрию задачи, вычислим циркуляцию вектора по этому контуру:

.

Теперь воспользуемся теоремой о циркуляции магнитного поля:

.

Здесь R — радиус тороида, 2Rn — полное число витков тороида, так как n — число витков на единице длины тороида.

Последнее выражение позволяет вычислить индукцию магнитного поля тороида:

. (9.18)

Повсюду вне тороида магнитное поле отсутствует, так как для любого контура, проходящего вне тороида, алгебраическая сумма охватываемых токов равна нулю.

Лекция 10 «Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля»

План лекции

1. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца.

   1. Опыты Фарадея.

   2. Правило Ленца.

2. Электродвижущая сила индукции. Закон Фарадея.

3. Индуктивность. Индуктивность соленоида. Самоиндукция.

4. Токи размыкания и замыкания цепи. Энергия и плотность энергии магнитного поля.

1. Явление электромагнитной индукции

В 1820 году датский физик Х. Эрстед экспериментально установил связь магнитного поля с электрическим током. Позднее она была сформулирована математически в одном из уравнений Максвелла — в теореме о циркуляции вектора магнитной индукции:

. (10.1)

Физическое содержание этого уравнения состоит в утверждении, что источником магнитного поля является электрический ток. Другими словами — электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. После установления этого замечательного факта, во многих научных лабораториях мира начались поиски решения обратной задачи: «как из магнитного поля получить электрический ток?». Решить эту фундаментальную задачу удалось английскому учёному Майклу Фарадею.

Несмотря на то, что идея «витала в воздухе», Фарадею потребовалось десять лет упорного труда, прежде чем ему удалось сформулировать закон электромагнитной индукции.

Рассмотрим лишь некоторые опыты Фарадея.