Елементи математичної статистики

§1 Вибірка та її характеристики

1. Вибірка.

Вибіркою об’єму називаються або:

а) разів поспіль виміряні значення випадкової величини ,

б) або один раз виміряні значення однаково розподілених випадкових величин :

.

Задача математичної статистики: за вибіркою отримати інформацію про закон розподілу випадкової величини .

2. Варіаційний ряд.

Варіаційним рядом називаються члени вибірки (варіанти), розташовані у порядку зростання:

.

Приклад.

Вибірка: . Варіаційний ряд: . Об’єм .

3. Емпірична (вибіркова) функція розподілу

,

де – кількість варіант , менших за (). Таким чином, графік утворюється відрізками горизонтальних прямих, причому зліва від функція , а при переході через варіанту відбувається стрибок вгору на величину , де - частота варіанти, тобто, кількість разів, з якою варіанта зустрічається у варіаційному ряді.

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Нанесемо члени варіаційного ряду на вісь . Зліва від функція дорівнює . При переході через підіймаємо горизонтальний відрізок вгору на . При переході через - ще на , а при переході через - на (оскільки. входить у варіаційний ряд три рази). І так далі. Отримуємо ступінчату функцію наступного виду:

Рис. 1

Помітимо, що при , більшому останнього значення варіаційного ряду, .

Побудована ступінчата функція дозволяє наближено судити про функцію розподілу випадкової величини .

4. Полігон частот

Полігон частот – це з’єднані відрізками точки , де - частота варіанти .

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Нанесемо члени варіаційного ряду на вісь . Відмітимо на площині точки . З’єднаємо їх відрізками (див. рис.2).

Отримана ламана дозволяє наближено судити про щільність розподілу випадкової величини .

Рис. 2

5. Гістограма

Щоб побудувати гістограму, розіб’ємо вісь на відрізки точками так, щоб , де - перший та останній члени варіаційного ряду. На кожному відрізку побудуємо прямокутник площею , де - кількість членів вибірки, що потрапляють у відрізок (таким чином, висота прямокутника дорівнює ). При цьому треба дивитися, щоб точки не співпадали з варіантами .

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Варіаційний ряд: .

Візьмемо

У відрізок потрапляє одне число , , у відрізок - одне число , , у відрізок - два числа , але зустрічається у вибірці три рази, тому , у відрізок - два числа , . Оскільки довжина кожного відрізка дорівнює одиниці, то будуємо прямокутники висотою . Гістограма набуває вигляду, зображеного на рис.3.

Рис.3

Отримана ступінчата фігура дозволяє наближено судити про щільність розподілу випадкової величини .

6. Вибіркове (емпіричне) середнє

.

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Варіаційний ряд: . Тоді

.

Дозволяє наближено судити про математичне сподівання випадкової величини .

7. Вибіркова (емпірична) дисперсія

.

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Варіаційний ряд: . Тоді

Дозволяє наближено судити про дисперсію випадкової величини .

Величина - вибіркове (емпіричне) середнє квадратичне відхилення. В нашому прикладі .

8. Незміщена вибіркова дисперсія

В нашому прикладі Зрозуміло, що .

Дозволяє наближено судити про дисперсію випадкової величини .

Величина - незміщене вибіркове (емпіричне) середнє квадратичне відхилення.. В нашому прикладі .