
- •Елементи теорії ймовірностей
- •§1. Означення ймовірності
- •Простіші властивості ймовірності
- •Класичне означення ймовірності
- •VII. Геометрична ймовірність.
- •VIII. Умовна ймовірність. Формула Байєса.
- •§2. Послідовності незалежних випробувань
- •I. Послідовність незалежних випробувань.
- •II. Схема Бернуллі
- •Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •§3. Випадкові величини
- •II. Дискретна випадкова величина
- •III. Неперервна випадкова величина
- •§4. Нормальний розподіл та його властивості
- •§5. Кореляція
- •V. Кореляційний момент:
- •Vі. Коефіцієнт кореляції
- •Vіі. Лінійна регресія -
- •Елементи математичної статистики
- •§1 Вибірка та її характеристики
- •Варіаційний ряд.
- •Емпірична (вибіркова) функція розподілу
- •Полігон частот
- •Гістограма
- •§2 Задача перевірки статистичних гіпотез
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.
- •§3. Довірчі інтервали
- •§4. Вибіркова кореляція
- •§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції
- •§6. Критерій , як критерій незалежності ознак
§5. Кореляція
І. Випадковий вектор
Вектор
,
де
- випадкові величини, називається
випадковим
вектором.
ІІ. Закон розподілу дискретного двовимірного випадкового вектору
Припустимо, що дві дискретні випадкові величини приймають наступні значення:
Сумісний закон розподілу двох величин (двовимірного випадкового вектору):
.
Задається або таблицею:
|
|
Σ |
||
|
… |
|
||
|
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
|
Σ |
|
… |
|
1 |
де сума
по рядках:
- закон розподілу
,
сума по
стовпчиках:
- закон розподілу
,
або формулою.
ІІІ. Умовний закон розподілу:
:
.
:
.
Випадкові
величини
та
незалежні,
якщо умовні закони розподілу співпадають
з безумовними:
,
.
ІV. Умовне математичне сподівання. Регресія
Як бачимо, умовне мат. сподівання однієї величини є функцією від значень другої величини. Ця функція називається регресією.
Функція
регресії
на
:
Функція
регресії
на
:
V. Кореляційний момент:
Обчислення
Легко показати, що
Обчислення
Якщо
величини
та
незалежні, кореляційний момент дорівнює
нулю.
Vі. Коефіцієнт кореляції
де
,
- середні квадратичні відхилення величин
та
.
Величини
та
корельовані,
якщо
.
Величини
та
некорельовані,
якщо
.
Якщо величини корельовані, то вони залежні, некорельовані величини можуть бути як залежними, так і незалежними.
Зауваження. Коефіцієнт кореляції не може бути по модулю більше одиниці.
Vіі. Лінійна регресія -
- лінійне наближення до функції регресії.
Лінійна
регресія
на
:
функція регресії
замінюється лінійною функцією регресії
.
Коефіцієнт
регресії
на
Лінійна
функція регресії
на
:
Пряма з рівнянням
називається
прямою
лінійної регресії
на
.
Найбільш
імовірна помилка, що виникає під час
заміни регресії на лінійну регресію
оцінюється через залишкове
відхилення
відносно
.
Лінійна
регресія
на
:
функція регресії
замінюється лінійною функцією регресії
.
Коефіцієнт
регресії
на
Лінійна
функція регресії
на
Пряма з рівнянням
називається
прямою
лінійної регресії
на
.
Найбільш
імовірна помилка, що виникає під час
заміни регресії на лінійну регресію
оцінюється через залишкове
відхилення
відносно
.
Точка
перетину прямих регресії з координатами
називається центром
сумісного розподілу
та
.
Приклад.
Задано
таблицею сумісний розподіл випадкових
величин
та
.
Знайти
розподіли
та
,
регресію та лінійну регресію
на
та
на
.
|
|
Σ |
||
|
|
|
||
|
0,10 |
0,30 |
0,20 |
0,60 |
|
0,06 |
0,18 |
0,16 |
0,40 |
Σ |
0,16 |
0,48 |
0,36 |
1 |
Знайдемо
суми по рядках та по стовпчиках. Отримаємо
закони розподілу випадкових величин
та
.
|
|
|
|
|
0,16 |
0,48 |
0,36 |
|
|
|
|
0,60 |
0,40 |
Знайдемо умовні закони розподілу.
:
.
:
.
Умовні мат. сподівання.
Знайдені
сукупності чисел складають відповідно
регресії
на
та
на
.
Знайдемо
лінійні регресії
на
та
на
.
Обчислимо
за законами розподілу мат. сподівання
та дисперсії
та
:
Обчислимо
мат. сподівання добутку величин
та
:
Обчислимо кореляційний момент
Коефіцієнт кореляції
Коефіцієнти регресії
Лінійна
регресія
на
Пряма
регресії
на
або
Залишкове
відхилення
відносно
Лінійна
регресія
на
Пряма
регресії
на
або
Залишкове
відхилення
відносно
.
Центр
сумісного розподілу
та
:
.
Порівняємо значення функцій регресії та наближених функцій лінійної регресії:
Як бачимо, отримані значення дуже добре узгоджуються між собою.
Зауваження. Аналогічні співвідношення існують і для неперервних випадкових величин (див., наприклад, [1]).