§3. Випадкові величини

І. Випадкова величина

Випадковою величиною називається будь-яка функція, визначена на ймовірнісному просторі:

.

Будемо розглядати:

а) дискретні,

б) неперервні випадкові величини.

Основною характеристикою випадкової величини є функція розподілу випадкової величини .

Імовірність потрапляння значень випадкової величини у проміжок :

а) За властивостями ймовірності

б) Звідси

.

Остаточно

.

II. Дискретна випадкова величина

1. Дискретною випадковою величиною (д.в.в.) називається випадкова величина, що приймає або скінчену кількість значень або послідовність значень:

або

2. Закон розподілу д.в.в. вказує, з якими ймовірностями випадкова величина приймає власні значення : . Задається або таблицею:

			…
			…

де ,

або формулою, наприклад:

а) кількість успіхів у випробуваннях схеми Бернуллі є випадковою величиною, що має так званий біноміальний розподіл:

,

.

Тобто значення величини , а ймовірності, з якими

величина приймає ці значення, обчислюються, як .

б) Гіпергеометричний розподіл – це розподіл випадкової величини , яка розглядалася у прикладі 1 п.VI § 1. Для неї

,

.

Графічно д.в.в. можна представити за допомогою полігона розподілу. Це з’єднані відрізками точки з координатами .

3. Функція розподілу дискретної випадкової величини обчислюється, як та має наступні властивості: 1) ; 2); 3) ; 4) зростає на ; 5) є ступінчатою функцією, яка приймає сталі значення на кожному півінтервалі та збільшується на величину під час переходу через точку .

4. Математичне сподівання д.в.в.

5. Дисперсія д.в.в. або . Дійсно, .

6. Середнє квадратичне відхилення д.в.в.

7. Властивості мат. сподівання та дисперсії: а) , б) в) г) , д) е)

8. Величина

називається центрованою та нормованою випадковою величиною. З властивостей 7 випливає, що

Приклади. 1) Біноміальний розподіл.

Оскільки

,

а

,

то

за формулою бінома Ньютона. Таким чином, .

Аналогічно можна обчислити дисперсію

.

Зауваження. 1. Як бачимо, величина

,

яка зустрічається у формулах Муавра-Лапласа, є центрованою та нормованою випадковою величиною, що має біноміальний розподіл.

2. Найбільш імовірна кількість успіхів у схемі Бернуллі є цілим числом, що лежить поряд з . Зазвичай користуються нерівністю

2) Розподіл Пуассона з параметром : Закон розподілу ,

Зрозуміло, що

в силу відомого розвинення експоненти в ряд Тейлора .

Таким чином, .

Аналогічно можна обчислити дисперсію

.

3) Закон розподілу д.в.в. задано таблицею

	1	2	3	4
	0,2	0,4	0,3	0,1

Побудувати полігон розподілу, графік функції розподілу, обчислити математичне сподівання та дисперсію (двома способами) д.в.в., знайти ймовірності потрапляння величини у проміжки та .

Полігон розподілу:

Графік функції розподілу:

Математичне сподівання та дисперсія:

	1	2	3	4	Σ	Примітка
	0,2	0,4	0,3	0,1	1
	0,2	0,8	0,9	0,4	2,3
	-1,3	-0,3	0,7	1,7
	1,69	0,09	0,49	2,89
	0,338	0,036	0,147	0,289	0,81
	1	4	9	16
	0,2	1,6	2,7	1,6	6,1
					5,29
-					0,81

Як бачимо, обчислення дисперсії двома способами дало однакові результати,

що свідчить про велику ймовірність відсутності помилок обчислення. Маємо

.

Середнє квадратичне відхилення

.

Імовірність потрапляння у проміжок .

За графіком функції розподілу

= 0,9 - 0,2 = 0,7.

Імовірність потрапляння у проміжок .

За таблицею розподілу

0,4 + 0,3 + 0,1 = 0,8.