Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі

Обчислення за формулою (3) значно ускладнюються, коли кількість випробувань є великим. Також важко підсумовувати ймовірності виду (3). Наприклад, для знаходження ймовірності потрапляння кількості успіхів у певний проміжок треба додавати вирази типу (3) для всіх значень з цього проміжку:

Ускладнення виникають також під час обчислень з малими або . В усіх цих випадках можуть допомогти так звані граничні теореми, які містять асимптотичні формули при .

Теорема Пуассона. Якщо ймовірність коли так, що , то

при будь-якому сталому , .

Доведення. Позначимо . Тоді

коли , оскільки за умови теореми . Теорему доведено.

З теореми випливає, що для великих та малих можна користуватися наближеною формулою

, (4)

де , а .

Зауваження. Числа при деяких значеннях параметрів та , важливих для застосувань, можна знайти по таблицях (див. Додаток). Набір вказаних чисел складає так званий розподіл Пуассона (див. §3, п.ІІ, пр.2).

Помилку наближеної формули Пуассона можна оцінити, як

.

Тут В – це довільний набір з чисел 0, 1, 2, … .

Якщо малим буде значення (тобто для великих ), то формулою можна користуватися для наближеного обчислення кількості невдач.

Коли обидва параметри та помітно відрізняються від нуля, можна користуватися теоремами Муавра-Лапласа. Розглянемо функцію Лапласа (інтеграл імовірності). Позначимо

,

.

(Значення функції Лапласа можна знайти по таблицях, див. Додаток.)

Зауваження. Іноді замість розглядають функцію Лапласа у вигляді

.

Її значення також можна знайти по таблицях, (див. Додаток). Функції пов’язані співвідношенням

.

В англомовних книжках розглядається так звана функція помилки (error function) у вигляді

.

Вона пов’язана з співвідношенням

.

Властивості функції Лапласа.

1) , причому для застосувань значення приймаються рівними 0,5 вже починаючи з .

2) Функція Лапласа є непарною, тобто . Це допомагає обчислювати значення функції для від’ємних аргументів.

Локальна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність , , є сталою, величина

є рівномірно обмеженою по та :

,

то справджується асимптотична рівність

,

коли , де нескінченно мала задовольняє нерівність , де С > 0 – стала величина.

З теореми випливає наближена рівність

, (5)

яка дає непогане наближення для випадку, коли . Крім

того, та не повинні значно відрізнятися одне від одного, наприклад, для

наближення буде дуже поганим.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність , , є сталою, то при ,

,

рівномірно по та ().

З теореми випливає наближена рівність

,

яка також дає непогане наближення для випадку, коли .

За допомогою заміни змінних попередня формула легко перетворюється на:

. (6)

Приклади. 1) Передається повідомлення з 500 знаків. Імовірність помилки під час передачі кожного знаку дорівнює 0,01. Вважаючи, що спотворення знаків виникає незалежно від попередніх, знайти ймовірність того, що:

а) у повідомленні буде не більше 2 помилок,

б) у повідомленні буде не менше 3 помилок.

Розв’язання. Маємо

а) Треба обчислити ймовірність

Оскільки велике, а мале, можна застосувати формулу Пуассона (4):

,

,

.

За таблицею розподілу Пуассона (див. Додаток),

,

,

.

Звідси

.

б) Помітимо, що подія «не менше 3 помилок» () протилежна події «не більше 2 помилок» (), яка розглядалася у п.а). Тому

2) Монету підкидають 1600 разів.

а) Знайти ймовірність того, що герб випаде рівно 800 разів.

Розв’язання. Маємо

Бачимо, що , можливо застосувати локальну формулу Муавра-Лапласа (5).

Треба обчислити ймовірність , тобто . Оскільки , то . Звідси

Тому

.

б) Знайти ймовірність того, що герб випаде не менше ніж 750 та не більше ніж 850 разів.

Розв’язання. Оскільки , можливо застосувати інтегральну формулу Муавра-Лапласа (6).

за непарністю функції Лапласа. За таблицею значень функції Лапласа (див. Додаток), , тому

.

Як бачимо, ймовірність отримати конкретне значення у цьому випадку є дуже малою, а ймовірність отримати будь-яке значення з певного інтервалу, що охоплює це конкретне значення – дуже великою.