3. Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .

а) Висуваємо основну гіпотезу : дисперсія нормально розподіленої випадкової величини дорівнює даному числу (). Альтернативна гіпотеза : . Застосовуємо критерій Пірсона. Обчислюємо за вибіркою незміщену дисперсію . Позначимо

.

Виберемо значення . Тоді

якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;

якщо , то гіпотеза приймається.

При цьому

.

Тут через позначено так звану -границю розподілу Пірсона («хі-квадрат») з степенями вільності. Значення її можна знайти за таблицею (див. Додаток).

б) Висуваємо : . Нехай : (одностороння альтернатива).

Виберемо значення . Тоді

якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;

якщо , то гіпотеза приймається.

При цьому

.

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Варіаційний ряд: . Висуваємо гіпотезу , що відповідна випадкова величина розподілена нормально з параметром . За альтернативну гіпотезу візьмемо припущення . Таким чином, . Відомо , що (см. вище) Обчислимо . Виберемо рівень значущості . Порівняємо обчислене відхилення та знайдену за таблицею розподілу величиною. Маємо

.

Гіпотеза приймається.

4. Гіпотеза про закон розподілу. Критерій .

Припустимо, що маємо вибірку об’єму . Закон розподілу невідомий. Висувається гіпотеза : функцією розподілу є дана функція . Треба порівняти її та побудовану за вибіркою емпіричну функцію розподілу і за величиною відхилення зробити висновок чи треба приймати цю гіпотезу.

Розіб’ємо числову пряму на відрізків точками

так, щоб , де - перший та останній члени варіаційного ряду. Обчислимо ймовірності потрапляння випадкової величини в кожен відрізок за гіпотетичним законом розподілу : і порівняємо їх з частотою потрапляння в ці відрізки варіант : - кількість варіант, що лежать на відрізку . Для цього обчислимо відхилення

.

Тоді якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;

якщо , то гіпотеза приймається. При цьому

.

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Варіаційний ряд: .

Висуваємо гіпотезу , що відповідна випадкова величина розподілена нормально з параметрами . Візьмемо як при побудові гістограми У відрізок потрапляє одне число , , у відрізок - одне число , , у відрізок - два числа , але зустрічається у вибірці три рази, тому , у відрізок - два числа , . Занесемо отримані дані у Таблицю.

Знайдемо за таблицею значень функції Лапласа величини

.

Побудуємо таблицю

	0.6	1.6	2.6	3.6	4.6
	0.012	0.093	0.353	0.714	0.934

Обчислимо . Занесемо отримані дані у Таблицю.. Заповнимо Таблицю:

Таблиця розрахунків за критерієм

1	1	0.081	0.648	0.352	0.124	0.191
2	1	0.260	2.080	-1.080	1.166	0.561
3	4	0.361	2.888	1.112	1.236	0.428
4	2	0.220	1.760	0.240	0.058	0.033
Усього						1.213

Виберемо рівень значущості . Порівняємо обчислене відхилення 1.213 та знайдену за таблицею розподілу величиною , оскільки в нашому випадку . Маємо

.

Гіпотеза приймається.

Зауваження. Для того, щоб критерій працював ефективно, треба, щоб було достатньо великим: всі величини мусять задовольняти нерівність . Оскільки в нашому випадку це не так, то зрозуміло, що приклад має виключно навчальний характер.