Лабораторная работа №7

Тема: Обработка результатов совместного измерения.

Ход работы:

1. Функция температурной зависимости R_t = f(t) сопротивления катушки имеет вид:

.

В результате эксперимента получены следующие результаты (заполнить таблицу согласно варианту):

	t, C	Rt, Ом
1	20
2	30
3	40
4	50
5	60
6	70
7	80

Определить сопротивление R₀ катушки при температуре 0 °С, значение температурного коэффициента расширения α и материала провода, которым намотана катушка.

Для этого преобразуем формулу для :

.

Тогда эту же формулу можно записать в виде:

, (7.1)

где ; .

Условные уравнения (их количество – m = 7 для рассматриваемого случая по таблице с исходными данными) имеют вид:

(7.2)

то есть:

(7.3)

. . .

. . .

. . .

3. Составить систему нормальных уравнений и найти значения ее коэффициентов. Для n = 2 система нормальных уравнений имеет вид:

; (7.4)

где:

(7.5)

; (7.6)

(7.7)

(7.8)

(7.9)

4. Значения и можно определить с помощью определителей. Главный определитель системы:

=. (7.10)

Частные определители:

= (7.11)

= (7.12)

Тогда:

(7.13)

5. Подставив наиболее вероятные значения и в условные уравнения, найти остаточные погрешности _j.

(7.14)

6. Найти среднеквадратические отклонения случайных составляющих погрешностей S_x1 и S_x2.

; (7.15)

7. Найти надежные границы случайных погрешностей:

, (7.16)

где: t_ - табличное значение квантиля распределения Стьюдента для (m – n + 1) степеней свободы. Таблица квантилей распределения Стьюдента приводится в [1], стр.377, таблица №6, а также в конце этой задачи.

8. Найти результат косвенного измерения R₀ и , используя формулы связи:

, (7.13)

В этом случае результат измерения сопротивления равен:

Результат измерения температурного коэффициента равен:

Пример решения:

(m=7; n=2):

t, °C	Rt, Ом	t, °C	Rt, Ом
20 30 40 50	26,06 27,09 28,12 29,17	60 70 80	30,19 31,23 32,26

Тогда для данного примера система условных уравнений по формулам (7.2), (7.3) имеет вид:

R₀(1+20α)=26,06

R₀(1+30α)=27,09

R₀(1+40α)=28,12

R₀(1+50α)=29,17

R₀(1+60α)=30,19

R₀(1+70α)=31,23

R₀(1+80α)=32,26

Подставим в эти уравнения данные в соответствии с формулой (7.1) и для данного примера система условных уравнений примет вид:

х₁+20х₂=26,06

х₁+30х₂=27,09

х₁+40х₂=28,12

х₁+50х₂=29,17

х₁+60х₂=30,19

х₁+70х₂=31,23

х₁+80х₂=32,26

Находим коэффициенты нормальных уравнений:

= 7;

== 350;

= 20300;

= 204,12;

= 10495,5.

Тогда нормальные уравнения (7.4) имеют вид:

7x₁+350x₂ =204,12;

350x₁+20300x₂ =10495,5.

Средние значения переменных и можно найти при помощи определителей. Главный определитель системы по (7.10) равен:

D = = (7 20300) – (350·350) = 19600;

Частные определители находим по выражениям (7.11), (7.12):

D₁ = = (204,12·20300)-(10495,5·350) = 470211

D₂ = = (7·10495,5)-(350·204,12) = 2026,5

Находим средние значения переменных по формулам (7.13):

= D₁/D = 470211/19600 = 23,990357;

= D₂ /D = 2026,5 /19600 = 0,10339285.

Подставляя значения и в условные уравнения, вычисляем конечные ошибки по формуле (7.14):

ν₁ = х₁ + 20х₂-26,06 = -0,001786

ν₂ = х₁ + 30х₂-27,09 = 0,0021425

ν₃ = х₁ + 40х₂-28,12 = 0,006071

ν₄ = х₁ + 50х₂-29,17 = -0,0100005

ν₅ = х₁ + 60х₂-30,19 = 0,003928

ν₆ = х₁ + 70х₂-31,23 = -0,0021435

ν₇ = х₁ + 80х₂-32,26 = 0,001785

Вычисляем сумму:

= 0,00016785714475

Среднеквадратичные отклонения результатов решения данной системы нормальных уравнений по формулам (7.15) равны:

= 0,0058968195; = 0,0001095011

Находим среднеквадратичные отклонения результатов:

;

.

Отсюда надежные границы случайных ошибок по формулам (7.16):

;

;

где: - коэффициент надежности (квантиль распределения Стьюдента) для Р = 0,95 и (m – n +1=6) равен =2,571. (см.

Результат измерения номинального сопротивления:

Результат косвенного измерения температурного коэффициента:

;

Окончательно, результаты совместного измерения номинального сопротивления и температурного коэффициента при доверительной вероятности :

R₀ = (23,9900,015) Ом;

α = (0,0043100,000010) K^-1.

По таблице значений температурных коэффициентов (см. приложение

ниже) можно сделать вывод, что катушка намотана медным проводом.

Значение квантиля распределения Стьюдента для 6 степеней свободы =2,571.

Пример решения аналогичной задачи рассмотрен в [8], стр. 305 - 309.

Таблица 1.7. Значения температурных коэффициентов.

Материал	, К-1
Медь	0.0043
Железо	0.0065
Алюминий	0.0038
Константан	0.0002
Нихром	0.0001
Вольфрам	0.0048

Варианты заданий (R_t, Ом)

Номер варианта	T, °C
	20	30	40	50	60	70	80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27	110,78 84,76 62,03 129,14 81,46 94,19 146,34 115,25 67,31 102,03 150,60 72,78 79,12 161,41 75,72 102,08 81,16 135,57 70,04 87,95 91,52 137,71 75,03 70,14 106,02 152,80 76,01	115,15 89,61 62,04 133,66 84,67 94,29 151,52 121,85 70,00 102,06 155,90 75,63 83,64 167,08 80,05 106,12 81,24 140,35 74,08 91,45 96,76 146,61 75,04 70,21 112,30 158,20 79,04	119,54 94,51 62,05 138,21 87,91 94,36 156,65 128,54 72,65 102,08 161,30 78,51 88,21 172,81 84,41 110,18 81,32 145,14 78,13 94,92 102,08 147,42 75,05 70,28 118,40 163,60 82,05	123,92 99,37 62,06 142,81 91,11 94,47 161,84 135,16 75,35 102,10 166,70 81,42 92,74 178,51 88,76 114,21 81,41 149,92 82,16 98,45 107,31 152,31 75,07 70,36 124,50 168,90 82,03	128,32 104,26 62,07 147,35 94,36 94,97 167,02 141,76 78,00 102,12 171,90 84,28 97,30 184,18 93,12 118,25 81,48 154,75 86,17 101,91 112,57 157,15 75,10 70,40 130,60 174,40 88,06	132,71 109,11 62,08 151,93 97,57 94,65 172,15 148,43 80,62 102,14 177,20 87,18 101,84 189,90 97,49 122,28 81,57 159,51 90,22 105,35 107,85 162,01 75,11 70,48 136,70 179,80 91,07	137,09 114,00 62,09 156,48 100,80 94,76 177,32 155,01 83,32 102,16 182,60 90,05 106,42 195,01 101,82 126,35 81,65 164,30 94,23 108,84 123,15 166,92 75,12 70,57 142,8 185,2 94,08