![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведения длин этих векторов и косинуса угла между ними
а b
= │а││b│cos
(аb).
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: для любых векторов а, b, c и любого числа λ
1) а b = b a, 2) (a + b) c = a c + b c, 3) (λ a) b = a (λ b) = λ (a b).
Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе{i, j, k } а(а1,а2,а3), b(b1,b2,b3), то имеют место формулы
a
b
= а1
b1
+ а2
b2
+ а3
b3,
│а│=
cos
(а,
b)
=
1.33.
АВСD – ромб с углом А равным 60° и стороной
АВ равной 4. Найти скалярное произведение
.
ОТВЕТ.. 8.
1.34.
М – точка пересечения медиан
равностороннего треугольника АВС со
стороной равной 2. Найти скалярное
произведение
.
ОТВЕТ..
-.
1.35.
АВСD – квадрат стороной равной 5. Найти
скалярное произведение
.
ОТВЕТ. -25.
ЗАМЕЧАНИЕ Во всех задачах этого пункта будем считать, что дан ортонормированный базис
1.36.
а(1,-1,3),
b (2,4,-5),
с(1,-2,1). Найти:
1) а b,
2) | с
|, 3) Соs(
b, с).
4) (а + b + 5с) · (2 b - 4с), 5) (а – b) · (с – а) .
ОТВЕТ.
1) -17, 2)
,
3) -
,
4) -164, 5) -11.
ПРИМЕР 1.11
Дан
треугольник АВС и ортонормированный
базис. М
ВС и ВМ : МС =
,
Р
АС
и АР : РС =
.
АМ
ВР
= АD . Найти Соs
МDР,
если
(0,9,12),
(12,24,36).
РЕШЕНИЕ
Угол МDР равен
углу между векторами
и
или углу между сонаправленными с ними
векторами
и
Поэтому Соs
МDР
= Соs
(
,
)
=
Найдем координаты
векторов
и
.
=
=
+
.
Поэтому
(3, -3, -3).
=
+
=
+
=
+
(
+
)
=
+
.
Поэтому
(4, 14,20).
Соs(
,
)
= (12 - 52 – 60) :
= -
.
ОТВЕТ.
СоsМDР
= -
.
1.36.В
параллелограмме АВСD
(-8,0,6),
(-3,-4,0).
Найти
ВАD.
ОТВЕТ..
–
.
1.37. Дан базис{i, j, k }. Найти косинусы углов, образованных вектором
а(5,
-,
3) с базисными векторами i,
j,
k.
ОТВЕТ.
cоs(
i,
а) =
,
cоs
(
j,
а) = -
,
cоs
(
k,а)
=
.
1.38.
Дан тетраэдр АВСD.
(1,4,1),
(2,-3,-2),
(0,5,0). Найти Соs
ВАМ,
где М – середина СD.
ОТВЕТ.
,
1.39.
В пространственном четырехугольнике
АВСD
(1,6,-2),
(5,3,-1),
(1,-7,-1).
Доказать, что диагонали четырехугольника
перпендикуляры.
1.40.
Дан четырехугольник АВСD.
(6,0,-8),
(0,10,0),
(-6,0,8).
Доказать, что этот четырехугольник
является квадратом.
1.41.
Найти длину медианы АМ треугольника
АВС и угол АМВ, если
(1,-1,2),
(3,5,-4).
ОТВЕТ..
АМ = 3, cоsАМВ
,
1.42.
Найти длины медианы АD треугольника
АВС, если
(0,4,0),
(-3, 0,0).
ОТВЕТ.
АD =
.
1.43.
В треугольнике АВС
(2,1,3),
(0,1,1) Найти косинус угла между медианой
АМ и высотой АН.
ОТВЕТ.
cоsМАН
=
.
1.44.
АМ и АD медиана и биссектриса треугольника
АВС. Найти косинус угла МАD, если
(0,4,0),
(-3, 0,0).
ОТВЕТ.
cоsМАD
=
.
1.45.
В треугольнике АВС АМ - медиана, АD
–биссектриса, АН – высота. Найти длину
АМ и косинус угла НАD, если
(2,0,0),
(0,0,4).
ОТВЕТ..
АМ =
,
Соs
НАD
=
.