Координаты вектора в данном базисе.
Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.
В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: {е1, е2, е3 }.
Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: {i, j, k }.
Координатами вектора m в базисе {е1, е2, е3 } называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе1 + уе2 + zе3, то числа х, у, z - координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).
Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:
если вектор m= x а + y b и а(а1,а2,а3), b(b1,b2,b3) m(m1,m2,m3), то
m1 =x a1 + y b1, m2 =x a2 + y b2, m3 =x a3 + y b3.
1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2а - b - 2с, б) а - b - 3с, в) а + 2 b +3 с), г) а - b – с,
д)
( а + b),
е)
(а -
2 b + с).
ОТВЕТ.
а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3),
е) (1,
,-4)
ПРИМЕР 1.7
Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор d представить в виде линейной комбинации векторов а, b, с ? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.
РЕШЕНИЕ
Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что
d = х а + у b + z с. (1)
По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора d через первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат
0 = х - 2у - 4 z (2)
-1 = х + 3у + z (3)
3 = 2х + 5у + z (4)
Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что
х = 2у + 4z (5)
Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:
5у + 5z = -1 (6)
9у + 9z = 3 (7)
Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор d нельзя представить в виде линейной комбинации векторов а, b, с. ■
1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:
а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);
в) а(5, -1,4), b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).
ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.
1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:
1) а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);
2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);
3) а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).
ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4 b, 3) d = 4а – с.
1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?
ОТВЕТ.. Нет.
1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у). Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов {а, b } линейно зависима ?
ОТВЕТ.
Да, х = -
,
у =
.
ПРИМЕР 1.8
В параллелепипеде
АВСDА1В1С1D1
К – середина ребра АА1,
точка М лежит на ребре ВС и ВМ =
ВС, О = А1С1
В1D1.
Найти координаты вектора
в базисе {
,
,
}
.
РЕШЕНИЕ
Так как координаты
вектора в данном базисе это коэффициенты
разложения этого вектора по векторам
базиса, то данную задачу можно
сформулировать так: выразить вектор
через векторы
,
,
,
поэтому
будем действовать так же, как при решении
ПРИМЕРА 1.3.
1)
=
+
=
+
= 2
+
,
т.е.
= 2
+
. (1).
2) Выразим вектор
через базисные векторы.
=
+
= -
+
.
(2)
3) Выразим вектор
через базисные векторы.
=
+
=
= -
–
(3)
4) Подставим (2) и (3) в (1), получим
= 2(-
+
)
+
(-
–
) = 2
–
–
.
Следовательно,
первая координата вектора
равна 2, вторая координата равна -
,
третья координата равна -
,
т.е.
(2, -
,
-
).
ОТВЕТ.
(2, -
,
-
).
1.29.
АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения
медиан граней ВСD и АDС, N
– середина АВ, Р
ВС и ВР :
РС = 1 : 2.
Найти координаты векторов
,
в базисе {
,
,
}
.
ОТВЕТ.
(
,
,
),
(
,
,
0),
(
,0, -
),
(-
,
,
).
1.30.
АВСD – тетраэдр. N
и К середины ребер ВС и АС. Найти
координаты векторов
и
в базисе {
}
.
ОТВЕТ.
(-1,2,-2),
(2,-4,2).
1.31.
В тетраэдре АВСD М- середина ВС, а N
– точка пересечения медиан грани АDС.
Найти координаты векторов
и
в базисе {
,
,
}.
ОТВЕТ.
(-1,-1,2),
(-
,
,
).
1.32.
В тетраэдре АВСD N
- середина ВС, а М и К – точки пересечения
медиан граней ВСD и АВD. Найти координаты
векторов
и
в базисе {
,
,
}.
ОТВЕТ.
(-
,
1,
),
(-1,
,
).