2. Методи і моделі прогнозування одновимірних процесів

Ряди динаміки характеризують процеси розвитку соціально-економічних явищ. Цим процесам властиві дві взаємопов'язані риси: динамічність та інерційність, що формують закономірність розвитку.

Ряди, в яких рівні коливаються навколо постійної середньої, називаються стаціонарними. Економічні ряди, як правило, нестаціонарні. Для більшості з них характерна систематична зміна рівнів з нерегулярними коливаннями, коли піки і западини чергуються з різною інтенсивністю. Скажімо, економічні цикли (промислові, будівельні, фондового ринку тощо) повторюються з різною тривалістю і різною амплітудою коливань.

Короткострокове прогнозування на основі ковзних середніх

Досить поширеним і простим методом аналізу динаміки є згладжування ряду. Суть його полягає в заміні фактичних рівнів у_t , середніми за певними інтервалами. Варіація середніх порівняно з варіацією рівнів первинного ряду значно менша, а тому характер динаміки проявляється чіткіше. Процедуру згладжування називають фільтруванням, а оператори, за допомогою яких вона здійснюється, — фільтрами. На практиці використовують переважно лінійні фільтри, з-поміж яких найпростіший — ковзна середня з інтервалом згладжування m < n. Інтервали поступово зміщуються на один елемент:

Для кожного з них визначається середня , яка припадає на середину інтервалу. Якщо m — непарне число, тобто m = 2p + 1, а ваги членів ряду в межах інтервалу однакові

, то

де y_i — фактичне значення рівня в i-й момент; i — порядковий номер рівня в інтервалі.

При парному m середина інтервалу знаходиться між двома часовими точками і тоді проводиться додаткова процедура центрування (усереднення кожної пари значень).

Ковзна середня з однаковими вагами а_r при згладжуванні динамічного ряду погашає не лише випадкові, а й властиві конкретному процесу періодичні коливання. Припускаючи наявність таких коливань, використовують зважену ковзну середню, тобто кожному рівню в межах інтервалу згладжування надають певну вагу. Способи формування вагової функції різні. B одних випадках ваги відповідають членам розкладання біному , при m=3, скажімо, a_r = 1/4, 1/2,1/4. B інших випадках до даних інтервалу згладжування добирається певний поліном, наприклад, парабола , де i = -р, …, p. Тоді вагова функція така:

Для m = 5

Для m = 7 і т.д.

Як видно з формул, ваги симетричні відносно центра інтервалу згладжування, сума їх з урахуванням винесеного за дужки множника дорівнює .

Основна перевага ковзної середньої — наочність і простота тлумачення тенденції. Проте не слід забувати, що ряд ковзних середніх коротший за первинний ряд на 2p рівнів, а отже, втрачається інформація про крайні члени ряду. I чим ширший інтервал згладжування, тим відчутніші втрати, особливо нової інформації . Окрім того, маючи спільну основу розрахунку, ковзні середні виявляються залежними, що при згладжуванні значних коливань навіть за відсутності циклів у первинному ряду може вказувати на циклічність процесу (ефект Слуцького).

У симетричних фільтрах стара і нова інформація рівновагомі, а при прогнозуванні важливішою є нова інформація. У такому разі використовують асиметричні фільтри. Найпростіший з них — ковзна середня, яка замінює не центральний, а останній член ряду (адаптивна середня):

.

У наведеній формулі перший елемент характеризує інерцію розвитку, другий — адаптує середню до нових умов. Таким чином середня з кожним кроком ніби оновлюється. Ступінь оновлення визначається постійною вагою . При використанні зважених асиметричних фільтрів вагова функція формується з урахуванням ступеня новизни інформації. Такою є середня з екс-поненційно розподіленими вагами:

,

де Y_t, — експоненційна середня, тобто згладжене значення рівня динамічного ряду на момент t; — вага ( t - r )-гo рівня; a — параметр згладжування, який визначає вагу t-гo рівня, значення його коливаються в межах від 0 до 1.

Розклавши формулу за елементами суми, маємо

,

або

Друга складова останньої формули є не що інше, як експоненційна середня для (t- l)-гo моменту. Отже, експоненційну середню можна представити як лінійну комбінацію фактичного рівня t-гo моменту та експоненційної середньої (t - l)-гo моменту: .

Чим віддаленіший від t-го моменту рівень ряду, тим менша його відносна вага і вклад у тенденцію. Так, при a = 0,2 ваги становлять: для t- го моменту — 0,2, для ( t – 1 )- го моменту — 0,2(1 -O,2) = 0,16; для (t-2)-ro моменту — 0,2(1 -0,2)² = 0,128 і т. д. Надаючи більшу вагу новій інформації, експоненційна середня адаптується до нових умов, що робить її досить ефективним і надійним методом короткострокового прогнозування.

Для розрахунку експоненційної середньої Y_t, необхідно визначити початкові умови: початкову величину Y₀ і параметр а. Як початкову величину можна використати середній рівень за минулий (до динамічного ряду) період, або за відсутності таких даних, перший рівень ряду, тобто Y_o=y_t. Щодо параметра а, то на практиці найчастіше використовують його значення в інтервалі від 0,1 до 0,3 . Оскільки від параметра а залежить сума вагових коефіцієнтів на певному часовому інтервалі m, то можна за наперед заданим значенням цих величин орієнтовно визначити параметр а:

Наприклад, якщо часовий інтервал m = 10 місяців, а сума ваг = 0,90 , то . Тобто, при a = 0,2 десять членів динамічного ряду визначать 90% величини експоненційної середньої.

При прогнозуванні процесу вдаються до багаторазового згладжування. Якщо період упередження v = 1, то використовують подвійне згладжування. Експоненційна середня другого порядку визначається за такою ж самою рекурентною формулою на основі згладженого ряду :

.

Якщо припустити наявність лінійного тренда, прогнозний рівень Y_t+1 можна розрахувати за формулою :

Довірчі межі прогнозного рівня визначаються традиційно:

де  дисперсія рівнів первинного динамічного

ряду; t— квантиль розподілу Стьюдента для ймовірності ( 1 -  ).

Очевидно, що за умови значної варіації рівнів динамічного ряду довірчі межі будуть досить широкими.

Базову модель експоненційного згладжування можна використати при моделюванні рядів, які мають сезонну компоненту.