3.4. Модифицированный метод Эйлера

Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен 0 y¢(t ) , он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке t₀ + h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке t₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера можно существенно повысить, используя,

например, среднее значение производной в начале и конце интервала.

Рис. 3.4. Геометрическая интерпретация модифицированного метода

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по простому методу Эйлера:

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала f(t_n+1, ). Вычислив среднее между этим значением призводной и её значением в начале интервала, найдем более точное значение y_n+1:

(3.11)

Графическая интерпретация модифицированного метода Эйлера представлена на рис. 3.4. Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора.

Кажется очевидным, что, сохранив член с h² и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h² , надо знать вторую производную y’’(t₀) . Её можно аппроксимировать конечной разностью

Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами третьего порядка, найдем

что совпадает с ранее полученным выражением (3.11).

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h² . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления .

Примеры:

Определить решение дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера

1) y’ = xy.

Решение:

2)

Решение:

3)

Решение:

3.5. Метод Рунге – Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

y’ = f (t, y),

удовлетворяющее начальному условию

y’(t₀) = y₀.

Принцип, на котором основан метод Рунге – Кутта, можно пояснить, как и принцип, на котором основан метод Эйлера, с помощью разложения функции в ряд Тейлора

Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо вычислить n-ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно-разност-ной форме достаточно было знать наклон кривой на концах рассматриваемого интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной, по меньшей мере, в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала h, т. е. между tn и n 1 t + . Очевидно, чем выше порядок вычисляяемой производной, тем больше дополнительных точек потребуется вычислить внутри интервала. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге – Кутта, в сущности, объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений.

Наиболее распространенным из них является метод четвёртого порядка точности, при котором удерживаются все члены ряда Тейлора, включая h⁴. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формулам:

где

Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге – Кутта первого и второго порядка соответственно. Более высокая точность метода Рунге – Кутта позволяет увеличить шаг интегрирования h. Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину. В прикладных пакетах программ выбор шага часто осуществляется автоматически. Для этого проводят вычисления сначала с шагом h, а затем – с шагом h/2.

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять приближенную формулу

где - вычисленное значение с шагом h/2; y_n – вычисленное значение с шагом h. Пример: y’ = xy.

Решение:

При реализации методов Рунге – Кутта на ЭВМ для каждой точки проводят двойной счет. Если полученные при этом значения удовлетворяют выражению (5.4), то для точки t n+1 шаг удваивают, в противном случае уменьшают вдвое. Однако необходимо помнить, что выражение (5.4) приближенное и при неблагоприятных условиях можно получить совершенно ошибочные результаты, хотя в большинстве случаев дело обстоит благополучно.