4.9.1. Нахождение всех максимальных независимых множеств

Задача отыскания экстремальных независимых и покрывающих множеств возникает во многих практических случаях. Например, пусть есть множество процессов, использующих неразделяемые ресурсы. Соединим ребрами вершины, соответствующие процессам, которым требуется один и тот же ресурс. Тогда β₀ будет определять количество возможных параллельных процессов.

Примером задачи, в которой требуется отыскать максимальные независимые множества, является известная задача о восьми ферзях: расставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы они не били друг друга. Для решения достаточно представить доску в виде графа с 64 вершинами (соответствующими клеткам доски), которые смежны, если клетки находятся на одной вертикали, горизонтали или диагонали.

Нахождение всех максимальных независимых множеств можно осуществить последовательным перебором независимых множеств с одновременной проверкой каждого множества на максимальность (путем добавления к исследуемому множеству дополнительной, не принадлежащей ему вершины и выяснением того, сохраняется ли независимость) и запоминанием максимальных множеств. С увеличением числа вершин этот метод поиска становится с вычислительной точки зрения громоздким, поэтому его удобно использовать только для небольших графов, например, с числом вершин, не превосходящих 20. Однако число максимальных независимых множеств увеличивается, но при выполнении процедуры большое число независимых множеств формируется, а затем вычеркивается, так как обнаруживается, что они содержатся в других, ранее полученных множествах, и поэтому не являются максимальными.

Используем систематический метод перебора Брона и Кэрбоша [2], который позволяет обходить указанные трудности. В этом методе не нужно запоминать генерируемые независимые множества для проверки их на максимальность путем сравнения с ранее сформированными множествами.

Введем необходимые обозначения обоснуем алгоритм нахождения всех максимальных независимых множеств.

В процессе поиска  на некотором этапе k  независимое множество вершин S_k расширяется путем добавления к нему подходящим образом выбранной вершины (чтобы получилось новое независимое множество S_k+1) на этапе k+1, и так поступают до тех пор, пока добавление вершин станет невозможным, а порожденное множество не станет максимально независимым множеством. Пусть Q_k будет на этапе k наибольшим множеством вершин, для которого S_k∩Q_k=, то есть после добавления любой вершины из Q_k в S_k получится независимое множество S_k+1. В некоторый произвольный момент работы алгоритма множество Q_k состоит из вершин двух типов: подмножества Q_k^- тех вершин, которые уже использовались в процессе поиска для расширения множества S_k, и подмножества Q_k⁺ таких вершин, которые еще не использовались. Тогда дальнейшее ветвление в дереве поиска включает процедуру выбора вершины x_ikQ_k⁺, добавления ее к S_k

S_k+1 = S_k{x_ik}

и порождения новых множеств:

Q_k^-₊₁ = Q_k^- \ Г(x_ik);

Q_k⁺₊₁ = Q_k⁺ \ (Г(x_ik)  {x_ik}).

Шаг возвращения алгоритма состоит в удалении вершины x_ik из S_k+1, чтобы вернуться к S_k, изъятии x_ik из старого множества Q_k⁺ и добавлении x_ik к старому множеству Q_k^- для формирования новых множеств Q_k^- и Q_k⁺.

Множество S_k является максимально независимым множеством только тогда, когда невозможно его дальнейшее расширение, то есть когда Q_k⁺=. Если Q_k^-, то текущее множество S_k было расширено на некотором предшествующем этапе работы алгоритма путем добавления вершины из Q_k^-, и поэтому не является максимально независимым множеством. Таким образом, необходимым и достаточным условием того, что S_k  максимально независимое множество, является выполнение равенств:

Q_k⁺ = Q_k^- = .

Если очередной этап работы алгоритма наступает тогда, когда существует некоторая вершина xQ_k^-, для которой Г(x)Q_k⁺=, то безразлично, какая из вершин, принадлежащих Q_k⁺, использовалась для расширения S_k, и это справедливо при любом числе дальнейших ветвлений. Вершина x не может быть удалена из Q_p^- на любом следующем шаге p > k. Таким образом, существование x, такого что

хQ_k^-  и  Г(x)Q_k⁺ =  (4.5)

является достаточным для осуществления шага возвращения, потому что из S_k при всяком дальнейшем ветвлении уже не получится максимально независимое множество.

Если k=0, то возвращение выполнить невозможно, поэтому при k=0 осуществляется переход на прямой шаг.