12. Определить распределение Рэлея и его основные параметры. Привести пример использования этой модели при проектировании систем радиосвязи.

Распределением Релея случайной величины или релеевской плотностью распределения вероятностей называется плотность распределения, которая описывается функцией:

(12.1)

Эту плотность распределения вероятностей ввел лорд Релей в 1880г. при рассмотрении огибающей суммы ряда гармонических колебаний разной частоты. В частности, можно показать, что плотность вероятностей амплитудных значений (т.е. огибающих) узкополосных случайных напряжений или тока, распределенных по нормальному закону, подчиняются релеевскому закону. Верен и общий случай. Пусть X и Y – назависимые гауссовские случайные величины с M(X)=M(Y)=0 и . Случайная величина будет иметь распределение Релея (12.1).

График релеевской плотности имеет вид:

Определим числовые характеристики релеевской случайной величины – математическое ожидание и дисперсию:

,

13. Определить логарифмически-нормальное распределение с.В и его параметры. Привести пример использования этой модели в сфере телекоммуникаций.

В системах связи затухание сигнала при прохождении его по тракту выражается как

,

где и - мощности выходного и входного сигналов. Из экспериментов известно, что затухание А очень часто ведет себя как гауссовская случайная величина. Отсюда возникает задача определения плотности вероятностей отношения мощностей. Для решения этой задачи введем две случайные величины X и Y , связанные соотношением X=e^Y , считая, что Y представляет собой гауссовскую случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией . Можно показать , что плотность распределения вероятностей для Х имеет вид

Это и есть логарифмически нормальная плотность распределения вероятностей.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

16. Проанализировать зависимость закона Пуассона и биномиального закона распределения с. В. Показать использование этой зависимости на практике.

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения: 0,1,2,…m (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой: (2)

Распределение Пуассона (2) зависит от одного параметра а, который является одновременно математическим ожиданием и дисперсией свободной величины Х : ; ; .

Рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в n испытаниях. Она принимает значения 0,1,2…,к,…n. Но как известно, вероятность того, что событие А появится К раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

(1)

Говорят, что с.в.Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения равны 0,1,2…,к, …n, а соответствующие вероятности определяются по формуле (1). . Это название связано с тем, что равно коэффициенту при в разложении бинома

Математическое ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Очевидно, что общее число Х появлений события А в n испытаниях складывается из числа появления события А в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁ число появлений события А в 1-м испытании, Х₂ число появлений события А во 2-ом, Х_n – в n-ом, то общее число появлений события А в n опытах будет равно:

Тогда , где

- математическое ожидание числа появления события А в i – ом опыте. Определим его

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Тогда

.

Дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению . .

Доказательство. По формуле дисперсии ;

Поскольку Х₁, Х₂,…Х_n независимы, то можно записать.

Определим

;

; с вероятностью и :

; ;