40. Зависимые и независимые случайные события.

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события Bи обозначается P{A|B}.

Условие независимости события B от события A записывают в виде P{B|A}=P{B}, а условие его зависимости — в виде P{B|A}≠P{B}.

41. Вероятность события в испытаниях Бернулли. Формула Пуассона.

Повторными независимыми испытаниями, испытаниями Бернулли или схемой Бернулли называются такие испытания, если при каждом испытании имеются только два исхода - появление события А или и вероятность этих событий остается неизменной для всех испытаний. Эта простая схема случайных испытаний имеет большое значение в теории вероятностей.

Наиболее известным примером испытаний Бернулли является опыт с последовательным бросанием правильной ( симметричной и однородной ) монеты, где событием А является выпадение, например, "герба", ("решки").

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А)=р, тогда , где р+q=1. Выполним опыт n раз, предположив, что отдельные испытания независимы, а значит исход любых из них не связан с исходами предыдущих (или последующих) испытаний. Найдем вероятность появления событий А точно k раз, скажем только в первых k испытаниях. Пусть - событие, заключающееся в том, что при n испытаниях событие А появиться точно k раз в первых испытаниях. Событие можно представить в виде

Поскольку опыты мы предположили независимыми, то

Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде

Число различных слагаемых в правой части этого равенства равно числу испытаний из n по k , поэтому вероятность событий , которую будем обозначать , равна

Последовательность событий образует полную группу независимых событий . Действительно, из независимости событий получаем

Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения: 0,1,2,…m (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой: (2)

Распределение Пуассона (2) зависит от одного параметра а, который является одновременно математическим ожиданием и дисперсией свободной величины Х : ; ; .

42. Понятие случайной величины. Классификация случайных величин. Примеры случайных величин.

Понятие случайной величины

Случайной величиной (с.в.) называется величина (число - вещественное или комплексное), которая в результате опыта может принять то, или иное значение (до проведения опыта неизвестное).С точки зрения инженерного подхода случайная величина - это просто числовое описание исходов случайного опыта. С точки зрения математики, случайная величина - это функция, которая определена на пространстве элементарных событий.

X = j(w), w Î W; x_i = j(w_i).

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина - это величина, множество возможных значений которой конечно или счетно.

Непрерывная случайная величина - это величина,. множество возможных значений которой континуально.

Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным и несчетным; значения случайной величины могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z,...), а их значения прописными буквами ( х, у, z,...).

Пример с.в.:

Поясним это на примере бросании игральной кости, где случайная величина Х - число выпавших очков. Из механики известно, что движение твердого тела полностью определяется, если заданы в некоторый момент шесть параметров, определяющих положение тела в пространстве, вместе со скоростями изменения этих параметров. Под элементарным событием w_i будем понимать набор этих двенадцати параметров в момент бросания. Тогда, зная w_i мы знаем и x_i, т.e. X есть функция w. Множество W, возможных значений w конечно, так как двенадцать параметров могут колебаться в конечных интервалах, а мы регистрируем их лишь с конечным числом десятичных знаков. Очевидно, что Х(w) наблюдать легко, в то время как при регистрации w_i возникают непреодолимые трудности. Кроме того, возможных значений w_i очень много, а значений Х(w_i) всего шесть. Отсюда видно, насколько сильно может быть упрощение математического описания явления при переходе от случайного события к случайной величине..