
- •50.Счет. И несчет. Мн-ва.
- •51. Алгеб. Опер-ии. Осн понятия.Св-ва бин. Опер-й. Нейтр. Элементы.
- •Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией
- •53. Алгебр структуры. Алгебры с двумя бинарной алгебраической операцией
- •54. Алгебры с 1 и двумя бинарной алгебраической операцией
- •55. Конечные поля
- •56. Гомоморфизмы алгебры
- •57. Алгебраические системы
- •Решетки
50.Счет. И несчет. Мн-ва.
def. Множества А и В называются изоморфными, если существует биективное отображение множества А на В. Обозначаются изоморфные множества: А @ В. Утверждение. Бинарное отношение «быть изоморфными» на совокупности множеств является отношением эквивалентности. Следствие. Относительно отношения «быть изоморфными» все множества объединяются в классы. Каждый класс состоит из изоморфных между собой множеств. dеf. То общее, чем обладают множества одного и того же класса (количество элементов) называются кардинальным числом (т.е. количественным) или мощностью множеств данного класса. Мощность множества А обозначается через |А|. По соглашению |Æ| = 0. Пример 1.|{a}|=1; |{a,b | a ¹ b}| = 2. def. Множества X и Y называются равномощными, если существует биективное отображение множества Х на множество У. Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют равночисленными. Если X и Y равномощны, то пишут X @ Y.
51. Алгеб. Опер-ии. Осн понятия.Св-ва бин. Опер-й. Нейтр. Элементы.
def.
Бинарной
алгебраической операцией
на множестве А
называется отображение множества А×А
в А.
+ и
- целых чисел являются примерами бинарных
операций на множестве. Пусть
Р(М)
– множество всех подмножеств множества
М.
Пусть f
– производная бинарная операция на
множестве А.
Если при отображении f,
элемент а
соответствует паре (а,b),
то вместо записи f
(a,b)
= c
пишут так же (a,b)
с
и элемент с
называют композицией
элементов a
и b.
def.
Пусть Аn
есть n-ая
степень непустого множества А,
где n
N.
Отображение множества Аn
в А
называется n-местной
операцией на
множестве А,
а число n
- рангом
операции.
Нульместной
операцией
на множестве А
называется выделение (фиксация)
какого-нибудь элемента множества А.
Число 0 называется рангом
нульместной операции.
def.
Отображение из множества Аn
в А
называется частичной
n-местной
операцией на
А,
если область определения отображения
не совпадает с Аn.
Операции ранга 0, 1, 2 называют
нульарной
(нульместной),
унарной
и
бинарной
соответственно.
Унарную операцию называют так же
оператором.
Свойства
бинарных операций
и ◦ - произвольные бинарные операции
на множестве А.
def.
Операция
коммутативна,
если для любых a,
b
из А выполняется равенство a
b
= b
a.
def.
Операция
ассоциативна,
если для любых элементов a,
b,
c
из А
выполняется равенство a
(b
c)
= (a
b)
c.
def.Операция
дистрибутивна
относительно бинарной операции
,если для любых a,
b,
c
из А
выполняются равенства (a
b)
◦ c
= (a
◦ c)
(b
◦ c)
и c
◦ (a
b)
= (c
◦ a)
(c
◦ b).
Нейтральные
элементы
def.
Элемент
е
из А
называется левым
нейтральным относительно
операции
,
если для любого а
из А
выполняется равенство е
а
=
а.
def.
Элемент
е
из А
называется правым
нейтральным относительно
операции
,
если для любого а
из А
имеем а
е
= а.
def.
Элемент
е
из А
называется нейтральным
относительно
операции
,
если для любого элемента а
из А
верны равенства e
a
= a
= a
e.
Симметричные
элементы
def.
Элемент
v
из А
называется левым
симметричным
к элементу а
А
относительно операции
,
если v
a
= e.
def.
Элемент
v
из А
называется правым
симметричным
к а
относительно операции
,
есл а
v=
е.
def.
Элемент
а’
А
называется симметричным
к элементу а
А
относительно операции
,
если а
a'
= е
= a’
a.
В этом случае элемент а
называется симметризуемым,
а элементы а
и а’
– взаимно
симметричными.
Аддитивная
и мультипликативная форма записи
При
аддитивной форме записи бинарную
операцию
называют сложением
и
пишут а
+ b
вместо a
b,
называя элемент a
+
b
суммой
a
и b.
Элемент, симметричный элементу а,
обозначают (-а)
и называют противоположным
элементу а.
Нейтральный элемент относительно
сложения обозначают символом 0 и называют
нулевым
элементом
относительно сложения. При аддитивной
записи свойства ассоциативности и
коммутативности записывается в виде
a
+ (b
+ c)
= (a
+ b)
+ c,
a
+ b
= b
+ a.
При мультипликативной
форме записи бинарную операцию называют
умножением
и пишут a
b
(вместо а
b),
называется элемент a
b
произведением
а
и b.
Элемент, симметричный а,
обозначают а-1
и называют обратным
элементу а.
Нейтральный элемент относительно
умножения обозначают через e
и 1 и называют единичным
элементом
или единицей
относительно умножения.
При мультипликативной записи свойства
ассоциативности и коммутативности
записываются в виде a
(b
c)=(a
b)
c,
a
b
= b
a.
52.Алгебр
структуры. def.
Множество М
вместе с набором операций
,
M,
где ni
-
рангом операции
,
называется алгебраической
структурой, универсальной алгеброй
или просто алгеброй.
Множество М называется основным (несущим) множеством или основой (носителем); упорядоченная последовательность рангов (n1,…, nm) называется типом; множество операций S называется сигнатурой.