39. Условный экстремум.
40. Производная поля по направлению. Градиент функции.
Производной
функции
в
точке
по направлению
называется предел
если предел существует.
Если функция
дифференцируема в точке М0, то производная
по направлению вычисляется по формуле
!!!
(18.31)
В частности, если
– функция двух переменных, то формула
(18.31) производной по направлению примет
вид:
(18.32)
!!!где
– угол между вектором
и осью Ох.
Градиентом
функции
в точке
называется вектор, имеющий координаты:
(18.33)
или, то же самое,
!!!
Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула
где
– угол между векторами
и
Градиент функции
указывает направление наибыстрейшего
возрастания функции. Наибольшее значение
производной
достигаемое в направление градиента,
равно
В
частности, если
– функция двух переменных, то
41. Двойной интеграл. Определение и основные свойства.
Пусть в замкнутой
ограниченной области D
плоскости xOy
определена
непрерывная функция
Разобьем указанную область произвольным
образом на элементарные плоские области
(рис. 24.1), площади которых будем считать
соответственно равными
Внутри каждой элементарной области
выберем произвольную точку
Достаточное условие интегрируемости функции: если определенная в некоторой ограниченной замкнутой области функция непрерывна, то она интегрируема в этой области.
Если функции
f(x; y),
и
интегрируемы в области D,
то имеют место следующие свойства:
1) линейность:
где
2) аддитивность:
причем области
и
не имеют общих внутренних точек;
3) если
выполняется неравенство
то
4) оценка модуля интеграла:
5) если
то
где S – площадь области D.
42. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника).
D – прямоугольник.
Проведём
;
;
Проведём
плоскость, перпендикулярную оси Oy:
;
Эта
плоскость пересечёт тело по криволинейной
трапеции
.
Её площадь:
;
;
43. Сведение двойного интеграла к повторному (случай произвольной области).
Предположим, что область удовлетворяет условию:
-
Любая прямая || OY пересекает границу области не более, чем в двух точках либо по целому отрезку.
Проведём
плоскость, перпендикулярную оси Oy:
;
Тогда граница области разбивается на две кривые, уравнения которых:
;
;
Тогда:
;
;
!!!44.
Замена переменных в двойном интеграле.
где t — «старые» координаты, а x — «новые» координаты. Пусть также функции, задающие отображение, имеют в области
непрерывные частные
производные первого порядка и отличный
от нуля Якобиан
!!!45. Якобиан и его геометрический смысл.
Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:
для
векторной функции
имеющей
в некоторой точке x все частные производные
первого порядка (определитель Якоби
или якобиан системы функций
).
Часто используются следующие обозначения якобиана:
или
Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).
