7. Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.

Определение: Путь – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы назовем такое число >0, что все матрицы , где 1<<1+α, продуктивны, а матрица (1+α)A не продуктивна.

Пусть - запас продуктивности матрицы А и 1<<1+.Тогда

*_А<1(условие продуктивности матрицы *А) и (1+)*_А1(матрица

(1+α)*А непродуктивна).Если бы неравенство было строгим, то можно было

бы взять число <1+α так, что *_А>1, что противоречит продуктивности

матрицы *А в силу второго критерия продуктивности.

Обратно, если верно равенство (1+)*_А=1, то для числа 1<<1+ верно

_A= *_А<(1+α)*_А=1 и _(1+α)A=(1+α)*_А=1, то есть матрица*А

продуктивна, а матрица не продуктивна.

Итак, (1+α)*_А=1.Значит, α= -1

8. Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

Произв. Потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
X11 X12 … X1n	Y1	X1
X21 X22 … X2n	Y2	X2

X=AX+Y (1)

Где A =

X = (x₁,x₂…x_n)

Y = (y₁,y₂…y_n) Вектор X называется вектором валового выпуска, вектор Y – вектором конечного

потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов X и Y это соотношение называют также моделью Леонтьева.

9. Приведите примеры задач лп на минимум (задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов)

Задача о диете: Пусть имеется 2 вида продуктов П₁ и П_2, содержащих питательные вещества А,В,С. В 1кг продуктов П₁ и П₂ содержится определенное количество вещества того или иного вида.

a,b,c- ежесуточное потребление А, В и С соответственно

s_1,s₂- стоимость П₁ и П₂ соответственно

Тогда целевая функция f=s₁x₁+s₂x₂-->min

Система ограничений:

Задача об использовании ресурсов: пусть R₁, R₂,R₃ – наличные ресурсы

b₁,b₂,b₃ – количество ресурсов R₁,R₂,R₃ соответственно

Т₁,Т₂ – выпускаемые товары

a_ij- число единиц ресурса, необходимых для выпуска 1 единицы товара

с₁,с₂ – доход от продажи товаров Т₁, Т₂ соответственно

х₁, х₂ – количество товаров Т₁ и Т₂ соответственно

общее количество ресурса R_1, используемого при выпуске обоих товаров, равное , не должно превосходить b_i , т.е. должны выполняться неравенства , i=1,2,3

Тогда целевая функция f=c₁x₁+c₂x₂--->max система ограничений:

10. Приведите общую постановку злп. Дайте определения следующим терминам: целевая ф-ия, допустимое мн-во задачи, оптимальное решение, оптимальное мн-во.

Пусть S – система линейных ограничений с n переменными x₁,x₂,…x_n, а f(x) – целевая ф-ия вида f(x) = c₀+c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

Требуется решить задачу f(x) -> min (max) при условиях S.

Целевая функция – функция, экстремальное значение которой

ищется на допустимом множестве в задачах линейного

программирования.

Допустимое множество задачи – это множество, на котором

выполняются все ее ограничения. Оптимальное решение ЗЛП – значение искомых переменных удовлетворяющее условию

оптимальности.

Оптимальное множество – множество решений ЗЛП удовлетворяющих условию

оптимальности.

11. Что такое стандартная форма ЗЛП? Что такое каноническая форма ЗЛП? Приведите пример задачи, форма которой не является ни канонической, ни стандартной. Приведите эту задачу к канонической, затем к стандартной форме.

Стандартная форма ЗЛП (система S состоит только из неравенств, в число которых входят тривиальные ограничения):

F(x) = c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+c₀ -> min (max)

X€Rⁿ: x_i0 , i=(1,2…n)

Каноническая форма ЗЛП (система S, помимо тривиальных ограничений, включает в себя только уравнения):

F(x) = c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+c₀ -> min (max)

X€Rⁿ: x_i0 , i=(1,2…n)

Пример задачи, не явл. Ни канонич., ни станд.:

F(x) = 4x₁+2x₂-13x₃+2x₄-x₅ -> max x_i, i=1…5

12-17. Примеры задач ЛП.

18-25. Примеры симплекс-таблиц.