9. Матрица перехода из общей системы координат в местную

10 Матрица жескости стержня в общей системе координат

Поскольку стержни в конструкции могут быть расположены произвольным образом, возникает необходимость перехода от матрицы жесткости R'i, построенной в местной системе координат, к матрице жесткости Ri, определенной в общей системе координат. Преобразование можно произвести по следующей формуле:

В формуле матрица V представляет собой матрицу перехода из одной ортогональной системы координат в другую.

Отметим, что при решении нашей задачи в дальнейшем возникнет вопрос о преобразовании вектора перемещений для отдельного стержня, но уже из общей системы координат в местную, которое производится по следующей формуле:

Матрица V , входящая в обе формулы и позволяющая произвести оба преобразования, имеет вид:

Угол a в матрице - угол наклона рассматриваемого стержня к оси общей системы координат. Значения sin a и соs a вычисляются через координаты узлов конечного элемента по формулам:

Матрицу V можно записать в блочной форме:

11. Формирование матрицы жесткости всей конструкции

Общая матрица жесткости R может быть получена путем суммирования соответствующих элементов матриц жесткости отдельных стержней. Размерность матрицы R - 3n х 3n, где n - количество узлов и в конструкции.

Рассмотрим некоторую произвольную стержневую систему.

Пусть она имеет пять узлов и шесть стержней (рис.3). Предположим, что для каждого стержня построена матрица жесткости шестого порядка в общей системе координат. Запишем ее в блочной форме.

Рассматривая стержень в составе всей конструкции, можно привести в соответствие индексам "н" и "к" реальные номера узлов начала и конца стержня. Условимся номер узла, меньший по величине, считать началом стержня, а больший - концом.

Теперь задача сводится к тому, чтобы из блоков матрицы R'i для каждого стержня сформировать матрицу жесткости всей конструкции R в нашем случае имеющую размер 15 х 15.

Так как с каждым узлом связаны три перемещения , всю матрицу R удобно представить в блочной форме с размером блока 3х3. В нашем случае такая матрица будет иметь размерность 5х5.

Для наглядности представим себе, что формирование матрицы жесткости всей конструкции будет происходить путем суммирования отдельных матриц, имеющих тот же порядок, что и результирующая матрица R, где будут присутствовать только элементы, соответствующие одному стержню, остальные элементы будут нулевыми. Разумеется, делать это в программе нецелесообразно, так как расходуется большое количество памяти. Реально формирование матрицы R происходит путем засылки с суммированием соответствующих блоков матрицы жесткости одного стержня R'i на соответствующее место в матрице R. Но, для наглядности, будем формировать каждый раз матрицу полного объема, записывая ее в блочном виде.

Рассмотрим последовательно все стержни - с первого до последнего. Номера стержней обозначены на рис. 3 цифрами в кружках.

Составим матрицы жесткости для стержней 1 и 2, которые являются элементами матрицы жесткости всей конструкции.

Стержень 1. Начало стержня - в узле 1, конец - в узле 4. Таким образом, индексу "н" соответствует 1, а индексу "к" - 4.

Слагаемое матрицы жесткости всей конструкции R, полученное в результате рассмотрения первого стержня, имеет вид:

Стержень 2. Начало - в узле 4, конец - в узле 5.

Верхние индексы 1 и 2 указывают на то, что соответствующие блоки взяты из матриц жесткости, составленных для стержней 1 и 2.

Таким же образом выполняется обработка стержней 3…6.

Просуммировав все полученные составляющие dRi,получим общую матрицу жесткости всей конструкции.