33. Применение рядов к приближенным выч.М и решению дифференциальных уравнений.

1. Вычисл. знач. ф-ции с помощью рядов.

Пусть нужно вычислить знач. ф-ции y=f(x) в некот. обл-ти заданной точки.

Для этого ф-цию раскладывают в ряд Тэйлора. Получ. ряд сходимости (а-R;а+R) и т. Х₀ должна принадлеж этому интервалу. После чего ф-цию f(x) заменяем многочленом f(x)Sn(x), a f(x₀)  Sn(x₀).

2. В случае неберущ. интеграла подинтегральная ф-ция разлож. в ряд. Тэйлора интегрир. ряд и получ. числовой ряд, равный значению интеграла.

34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его выч..

Цилиндрическое тело – тело огранич. поверхностями: цилиндром с образующим направлением одной из кардинатных осей, снизу z=0.

На плоскости х_оу тело проецируется в область δ, чтобы вычислить объем: область δ разобьем на N эл-ных областей: δ_1, δ_2, δ_n с S соотв. ∆δ_1, ∆δ_2, ∆δ_n

Под кажд. из эл-. обл-тей построим эл-. огранич. сверху пов-сть z=f(x,y). Если эл- обл-ти достаточно малы, то объем цилиндрич. тела  объему эл-. цилиндр. с высотами = знач. ф-ии z=f(x,y) в произвольной точке эл-. обл-ти.

Двойным интегралом от ф-и f(x,y) по ограниченной замкнутой области D наз. предел интегральной суммы, построенной для ф-и f(x,y) при неограниченном увеличении числа разбиений области D на ячейки (n→∞) и при стягивание каждой ячейки в точку , если такой предел сущ. и не зависит от способа разбиения области D на ячейки, ни от выбора в каждой из них.

Теорема существования: Для всякой непрерывной ф-и f(x,y) в ограниченной замкнутой области D сущ. двойной интеграл:

Свойства двойного интеграла:

3)Если область D разбить линией на две области D1 и D2 такие, что , а пересечение D1 и D2 состоит лишь из линии, их разделяющей, то :

4) Если в области D имеет место неравенство , то и . Если в области D ф-и f(x,y) и удовлетворяют неравенству, то и

6) Если ф-я f(x,y) непрерывна в замкнутой области D , площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной ф-и в области D.

7) Если ф-я непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области сущ. такая точка (x0,y0), что . Величину называют средним значением ф-и f(x,y)в области D

35. Тройной интеграл и его выч..

Определение:

Пусть задана область VXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V  и на ее границе задана ф-я f (x,y,z).

Тройным интегралом от ф-и f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел сущ. и не зависит ни от способа разбиения области V  на эл-ные части, ни от выбора точек на каждой из этих эл-ных частей):

здесь n – это количество эл-ных частей разбиения области V;  P_i (x_i,y_i,z_i) – произвольно выбранная точка на каждой эл-ной части,

 i = 1,...,n;

 — ранг разбиения;  – диаметр i-ой эл-ной части.

Выч. ТИ сводится к последовательному вычислению трёх опред. интегралов.Например, в декартов сист. координат и пусть тело/область v обладает след. св-вами:

1. Проектируется на плоскость XOYв нек. Обл-и D.

2. Любая прямая, пронизыающая данную обл-ть, пересекает её поверхность не более,чем в 2-х точках.

Тогда:

=.где D-поверхность

Тройной интеграл в декартовых координатах

Пусть в трехмерной области V пространства OXY задана ф-я . Разобьем произвольным образом область V на эл-ные подобласти , в каждой подобласти зафиксируем произвольную точку () и составим трехмерную интегральную сумму . Тройным интегралом от ф-и по ограниченной области V называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров эл-ных областей , если этот предел не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек : . Выч. тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и одного однократного либо к вычислению трех повторных интегралов. Если область V ограничена сверху поверхностью , снизу поверхностью , с боков – прямым цилиндром, вырезающим на плоскости OXY область D, то .

С помощью тройного интеграла объем тела, изображенного на рис. 9, вычисляют по формуле:

.