4. Замена переменной в ои.

Пусть дан интеграл от a до b. x=φ(t) – ввод новой переменной, тогда: 1. φ(α)=a, φ(β)=b. 2. φ(t), φ’(t) – непрерывна на отрезке [a;b]. 3. f( φ(t)) непрерывна на отрезке [α,β], то справедлива следующая формула

Замечание: эта формула удобна тем, что после замены переменной и изменив пределы интегрирования, сразу используется формула Ньютона-Лейбница. Не надо возвращаться к старой переменной x.

5. Интегрирование по частям в ои.

В ОИ применяется формула интегрирования по частям, как и в неопределенном интеграле, который с учетом формулы Ньютона-Лейбница записывается: .

6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования

Рассмотрим ф-ю  определенную и непрерывную на промежутке  . Очевидно, определение определенного интеграла на таком промежутке бессмысленно. Предположим, что данная ф-я  интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, b]. Тогда интегралом от этой ф-и по бесконечному промежутку  назовем  Обозначать этот интеграл будем как . Таким образом

Если этот предел сущ., будем говорить, что интеграл  сходится, в противном случае - расходится. Геометрически этот интеграл представляет собой площадь бесконечной

Аналогично можно определить интегралы по промежуткам другого вида

Или

7. Несобственные интегралы от ф-й, терпящих бесконечный разрыв

Для начала рассм.ф-цию y=f(x), x=[a;c), и терпит в точке бесконечный разрыв.

Рассм. , т.к ф-ция на этом промежутке интегрирования, то интеграл сущ. и явл. непрерывной ф-цией от верхнего предела . Если стремится к 0,то стремится к с.

Если сущ.конечный предел то он наз. несобств. интегралом от ф-ции, терпящей бесконечный разрыв на правом конце интегрирования.

Если разрыв во внутренней точке, то

8. Применение определенных интегралов для выч. Площадей

Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от ф-и f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] ф-и f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

.

Выч. площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] ф-и f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных ф-й f (x),  и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных ф-й f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных ф-й f (x),  и осью Ох:

9. Применение определенного интеграла для выч. Длин дуг

Длиной кривой наз. предел длины вписанной ломаной, когда число разбиений ->∞, а длина каждой из сторон стремится к 0.

В прямоугольной системе координат:

Пусть у нас задана кривая линия l. Обозначим через l длину линии, заключенной в отрезке. Дадим приращение dx, и найдем приращение dl. Если у нас dx-достаточно малая, то dl приблизительно равна длине прямого отрезка.

Интегрируя, мы получим:

В параметрическом виде:

В полярной системе координат: