42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

Формулой Бернулли удобно пользоваться в тех случ. когда число испыт. малое, но если число испыт. большое, то тогда возвед. в большие степени вызовет большие трудности; в этом случ. прибег. к формулам Лапласа или формуле Пуассона.

ТЕОРЕМА "Локальная теорема Лапласа"

Пусть в схеме Бернулли число испыт. l(эль) - велико и вероятность P не близка к 0 и 1. В этом случ. вероятность того, что в серии событий (серия из n-испыт.) произойдет ровно k-раз. Вычисл. по формуле. P_n (k) = где   – диффер. функ-ия Лапласа. Для этой функ-ии имеется спец. табл. значений.

ПРИМЕР: Вероятность того что в рыбхозе карпового пруду, карп будет зеркальный = 0,2. Найти вероятность того, что среди поставл. в продажу 400 карпов 80 будет зеркальными. P₄₀₀ (8) = ;  (0) =

ТЕОРЕМА "Интегральная теорема Лапласа"

Если в схеме Бернулли число испыт. велико, а вероятность не близка к 0 или 1, то вероятность того, что событие появится в серии от k₁ до k₂ раз = P (k, k₂) = (x") - (x'), где x'=, x"= ; (x) = dt. – интегральн. функ-ия Лапласа, для котор. имеется спец. табл. знач.

ЗАМЕЧАНИЕ ! k₁ и k₂ могут как входить (включ.) в этот промежуток, так и не вход. (включ.) - роли существ. не играет.

ОТМЕТИМ, что функ-ия (х) - нечетная. (-х) = -(х)

ПРИМЕР: Вероятность того, что деталь не пройдет проверку ОТК = 0,2. Найти вероятность того, чт среди 400 случ. отобр. деталей проверку ОТК не пройдет от 70 до 100 деталей. n = 400, k₁ = 70, k₂ = 100. P₄₀₀ (70/100) =  (x") - (x') = (2,5) - (1,25) = (2,5) + (1,25) = 0, 4938 + 0, 3944 = 0, 8882. x' = .

43. Дискретные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину которая может принимать только некоторые заранее определенные значения. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным мн-вом).

З-н распределения дискретной случ. величины предст. собой перечень всех ее возможных знач. и всех вероятностей. Сумма всех вероятностей p_i = 1. з-н распределения может быть так же задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x₀, p_x).

Биномиальное распределение. Биномиальным назыв. з-н распред. дискр. случ. величины Х - числа появлений события n-испыт. независимых, в кажд. из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют по формуле Бернулли. Для биномиального распределения: математ. ожидание М(Х) = np. дисперсия D(X) = npq, коэффиц. асимметрии As = (q - p)/, кэффиц. эксцесса Ex = (1 - pq)/npq.

геометрическое распределение. Производится серия испытаний. Случ. величина - количество испытаний до появл. первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Если кол-во испытаний не ограничено, т.е. если случ. величина может принять значен. 1, 2, 3, ..., +, то математ. ожидание и дисперсию геометрич. распредел. можно найти по формулам: М(Х) = 1/р, D(X) = q/p².

Распределение Пуассона. Пусть имеется некоторая последовательность событий, наступ. в случ-ие моменты времени (будем называть это потоком событий).Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) равна . Пусть этот поток событий - простейший (пуассоновский) , т.е. обладает тремя свойствами: 1) вероятность появл. k событий за опред. промежуток времени завис. только от длины этого промежутка, но не от точки отсчёта, др. словами, интенсивность потока есть пост. величина (свойство стационарности). 2) вероятность появл. k событ. в любом промеж. времени не завис. от того, появилось событие в прошлом или нет (свойство отсутствия последствия). 3) появление более одного события за малый промежут. времени практически невозможно (свойство ординарности).