1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.
1)Задача
о нах. пройденного пути.
Пусть нам известен з-н изменения скорости
в мат. точке как v(t)
и нам нужно найти путь, пройденный за
время (α, β). Если бы она двигалась с
пост. скоростью, то S=vt.
Весь промежуток времени от α до β разобьем
на отрезки [
],[
]…[
],
где
β. Длины эл-ных промежутков обозначены:
.
На каждом из них обозначим точку:
,
,
.
Если эл. промежутки достаточно малые,
то скорость на каждом из них можно
считать равной скорости в выбранной
точке.
,
,
.
Весь пройденный путь:
.
За точное значение пути возьмем:
2)Задача
о вычислении площади криволинейной
трапеции.
Для выч. площади криволинейную трапецию
разобьем на n
маленьких эл-ных трапеций. Каждую из
них заменим на прямоугольник и будем
считать, что площадь эл. трапеции ровна
площади соотв. прямоугольника. Для этого
разделим отрезок [a;b]
на n
эл-ных
отрезков [
],[
]…[
],
где
b.
Длины:
.
На каждом отрезке выберем произв. образом
по точке. Вычислим значение ф-и в этих
точках. Каждую из эл-ных трапеций заменим
прямоугольником с тем же основанием,
но высотой равной значению ф-и в выбранной
точке. Если эл-ные трапеции достаточно
малы, то их площади приблизительно равны
площадям прямоугольников, а суммарная
площадь ровна приблизительно площади
криволинейной трапеции:
.
За точное значение берется предел, когда
число разбиений n
->∞,
а каждый из эл-ных отрезков стягивается
в точку, т. е.
.
Определение:1)отрезок
[a;b]
произв. образом разобьем на n
эл-ных
отрезков [
],[
]…[
],
где
b,
2)на
каждом из эл-ных отрезков выберем
произвольную точку, принадлежащую
определенному отрезку, и вычислим
значение точки
3)составим
сумму произведений:
.
4)Рассмотрим пример данной интегральной суммы, когда число разбиений n –>∞, а каждый из эл-ных отрезков стягивается в точку.
Если этот предел сущ. и конечен и независим от способа разбиения отрезка, выбора точек, то он наз. определенным интегралом от ф-и y=f(x) на отрезке [a;b].
2. Теорема существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
Теорема о существовании ОИ
Если
ф-я f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
или имеет на этом отрезке конечное число
точек конечного разрыва, то интеграл
сущ..
Свойства ОИ:
1) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла;
2) При изменении направления знак меняется;
3) 
;
4)
f(x)≤g(x),
;
5)
Пусть m
–
наименьшее значение ф-и f(x
), М – наибольшее
значение ф-и f(x
)на
отрезке [a;b],
тогда
;
6)
Найдется такая точка C,
лежащая на отрезке [a;b],
что
7)
3. Теорема о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим
определенный интеграл
Если мы будем менять b, то будут изменяться и значения интеграла, т.е. интеграл будет явл. ф-ей вернего предела. Для того, чтобы иметь привычное обозначение, обозначим b через x:
f(x)=
Этот интеграл явл. ф-ей переменной х и наз. интегралом с переменным верхним пределом. Для него справедлива следующая теорема:
Если
f(x) – непрерывная ф-я и φ(x )=
,то справедливо равенство φ’(x)= f(x).
Другими словами, интеграл с переменным
верхним пределом есть первообразная
для подынтегральной ф-и.
Замечание: как мы знаем из определения неопределенного интеграла, НИ есть совокупность всех первообразных, а ОИ с переменным верхним пределом является одной из первообразных.
Формула Н-Л.
Если
F(x ) является какой-либо первообразной
для ф-и f(x) , то интеграл
F(b)- F(a)=F(x)
Замечание: заметим, что разность F(b)- F(a) не зависит от выбора первообразной F(x), так как все первообразные отличаются на постоянную величину, которая при вычитании уничтожается.