2.3.2. Определение сил инерции звеньев с использованием метода заменяющих точек

В некоторых случаях удобно определять силы инерции масс звеньев как сосредоточенные сила инерции массы звена, условно распределенные в определенных точках. При этом отпадает необходимость определения момента инерции от углового ускорения звена. Выбранные точки, в которых условно сосредотачивают массу звена, называют замещающими (это шарниры, утолщения и др.).

Для того, чтобы результирующая сила инерции масс, сосредоточенных в замещающих точках, равнялась силе инерции всего звена, должны выполняться следующие условия:

а) m_i=m,

то есть сумма масс, сосредоточенных в замещающих точках, должна равняться массе всего звена;

б) m_iX_i=0,

m_iY_i=0,

то есть общий центр масс, сосредоточенных в замещающих точках, должен совпадать с центром звена (сумма статических моментов инерции замещающих точек должна быть равна нулю);

в) m_i(X²_i+Y²_i)=I_{s ,}

то есть сумма моментов инерции масс, сосредоточенных в замещающей точках относительно оси, проходящей че­рез общий центр масс, равняется моменту инерции эвена относительно этой же оси. Здесь m_i - масса, сосредоточенная в замещающей точке с индексом i;

где m -масса всего звена;

X_i, Y_i -координаты i-ой точки относительно осей, проходящих через центр масс;

I_s -момент инерции звена относительно оси, проходящей через точку ^ .

Если при размещении массы звена в замещающих точках обеспечивается выполнение всех трех условий, то такое размещение масс звеньев называют динамическим и использование его позволяет рассчитать массу в трех завещающих точках,

Если при размещении массы звена обеспечивается только два первых условия (а и б), то такое размещение массы звена называет статическим и выполнение его позволяет рассчитать пассу двух замещающих точек.

Например, в кривошипно-коромысловом механизме (рис. 8), если воспользоваться статическим размещением масс и массу m₂ звена 2 разместить в точках В и С , то условия размещения будут иметь следующий вид:

а) m_2B+m_2C=m_{2 ,}

б) m_2B+BS₂=m_2C+CS₂,

Решая эту систему относительно m_2B и m_2C, определяют величины масс замещающих точек:

m_2B= (CS₂/BC)m₂; m_2C= (BS₂/ BC)m₂

Зная величины масс замещающих точек, а также величину и направление ускорений (из планов ускорений механизма) подсчитывают величины сил инерции замещающих точек, т.е. инерциальную нагрузку звена.

P_u1i=m_1ia_1i ,

P_u2i=m_2ia_2i ,_,

2.4 Расчет давлений (реакций) в кинематических парах (общая методика силового расчета)

Силовой расчет начинают с вычерчивания кинематической схемы механизма и нанесения на нее всех учитываемых сил (см. разд.4.6.1).

Расчет обычно ведется из условия, что трение в кинематических парах отсутствует, а силы расположены в одной плоскости.

Общая методика силового расчета заключается в следующем.

1. Механизм разбивается на кинематические группы Ассура. Правильность расчленения механизма на группы нужно проверить, подсчитав степень подвижности W каждой из них (см. разд. 4.4.).

Группы звеньев (группы Ассура), равновесие которых можно рассматривать отдельно, должны быть статистически определимы, т. е. W=0.

2. Силовой расчет всего механизма, как правило, начинают с расчета последней (наиболее удаленной от ведущего звена) группы и кончают расчетом ведущего звена механизма.

При отсоединении каждой группы звеньев с W=0 от механизма действие последнего заменяется реакциями. Для правильного определений линии действия реакций необходимо помнить, что в случае, если расчет ведется без учета сил трения и веса звеньев, реакции между двумя звеньями направлены по нормали к поверхности касания. Если же на звено действуют три силы, например, внешняя и две реакции, то линии действия этих сил пересекается в одной точке.

3. Для каждой введенной группы Ассура, начиная с последней, составляется векторные уравнения равновесия сил. При этом, неизвестные по величине и направлению реакции отброшенного механизма на данную группу, приложенные в точках отсоединения, представляется в виде составляющих сил, действующих вдоль оси звена Rⁿ_ij и перпендикулярно к нему R_ij.

Составленные уравнения равновесия сил для группы Ассура в общем случае не могут быть решена из-за большого количества неизвестных (четыре вместо двух, в каждом уравнении). Поэтому для определения какой-либо неизвестной силы необходимо составить систему из двух уравнений моментов для всей группы и одного звена, но относительно равных точек. Точка, относительно которых составляют уравнения моментов выбирают таким образом, чтобы решением каждого уравнения можно было определить по одной тангенциальной R_ij, R_iq составляющей неизвестных реакций R_ij, R_iq.

Плечи моментов сил, входящих в уравнение равновесия, находят как действительные длины перпендикуляров, опущенных из точек, относительно которых составляются уравнения моментов на линии действия соответствующих сил, с учетом масштаба чертежа.

4. Дальнейший расчет группы сводят к решению уравнений равновесия сил. Решение выполняют аналитическим или графическим способами. При аналитическом способе векторные уравнения заменяют уравнениями проекции сил на координатные оси, по которым находят проекции искомых сил.

При графическом способе строят планы сил для каждого звена группы. План сил представляет собой замкнутый векторный многоугольник, в котором каждая его сторона пропорциональна по величине и параллельна по направлению какой-либо силе, действующей на рассматриваемое звено, или на систему звеньев.

Для построения плана сил выбирают значения масштаба сил и на чертеже из произвольно выбранного полюса последовательно откладывают векторы в виде отрезков, длина которых выражается произведением величин силы и масштаба. Целесообразно при построении плана сил в начале откладывать известные внешние силы и реакции и в конце неизвестные реакции.

5. Для получения полной картины силового взаимодействия в кинематических парах механизма силовой анализ проводят в ряде положений механизма. Результата расчета сводят в таблицу. Кроме того, могут быть построены годографы сил для шарниров.

6. Результаты кинетостатического расчета используются в последующих расчетах звеньев и узлов механизма на прочность, нагрев, используются при решении задач уравновешивания механизма и в других случаях (если это предусмотрено курсовым проектом).

Как правило при курсовом проектировании принятые конструктивные решения проверяют расчетом на прочность.

Расчет кулачка выполняют на контактную прочность по формуле Герца-Беляева

_к=0.418,

где _к и [] - действительное и допустимое контактные напряжения;

в - ширина кулачка по линии контакта;

Е_пр=- приведенный модуль упругости материал кулачка Е_к и ролика Е_р;

=- приведенная кривизна кулачка и ролика;

N - сила нормального давления со стороны ролика на кулачок, действующая по нормали к профилю,

Расчет на прочность звеньев механизма начинают с определения опасного сечения (обычно шарнира), затем, считая шарнир консольной балкой с распределенной нагрузкой, определяют напряжения нагиба

=M_u/W=(R_maxl)/20.1d³[],

где R_max - наибольшая реакция в шарнире, получаемая из плана (годографа) сил;

W=0.1d³- момент сопротивления сечения изгибу;

L/2, d- половина длины и диаметр шарнира;

[]- допустимое напряжение изгиба (по данным ПМЗ, для шарниров без термообработки []=400 кгс/см², для термически обработанных шарниров []=600 кгс/см²).

Расчеты на удельное давление и на нагрев производят следующим образом:

P=R_ср/d_uil[P];

PV= (R_ср/d_ui)(dw_ср/2)[PV],

где R_ср= - среднее значение реакции за полный цикл,

w_ср - средняя угловая скорость кинематической пары;

d_ui - диаметр оси шарнира,

[P]- допустимое удельное давление (для стального пальца и стального ролика [Р]=150…200 кгс/см²);

[PV] -допускаемый условный коэффициент нагревания ([PV]=25…32[кгс/см²м/с]).

Методика указанных расчетов дана в литературе [1] , [4] , [5] , (8) и др., а также в учебниках и справочных пособиях по курсу "Детали машин".