Многочлени над полем комплексних чисел

Як було встановлено раніше, для кожного многочлена існує своє поле розкладу, а саме таке розширення поля , в якому многочлен розкладається на добуток лінійних множників. Серед числових полів найбільш важливу властивість має поле усіх комплексних чисел. В полі будь-який многочлен розкладається на лінійні множники - алгебраїчно замкнуте (єдине числове поле, що має таку властивість).

Властивість модуля многочлена

Теорема 21. Якщо - многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа можна знайти таке число що при виконується нерівність

Наслідок 1. Многочлен може мати тільки такі корені, модуль яких менший від числа

(56)

де

Наслідок 2. При модуль старшого члена многочлена більший за модуль суми всіх інших членів цього многочлена.

Теорема 22. Многочлен непарного степеня над полем дійсних чисел має принаймні один дійсний корінь.

Теорема 23. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.315-317.]

Теорема 24. (Основна теорема теорії многочленів). Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами

має хоча б один комплексний корінь.

Наслідки з основної теореми теорії многочленів

Теорема 25. Кожний многочлен, степінь якого вищий за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.

Наслідок. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював 1.

Теорема 26. Кожний многочлен го степеня над полем комплексних чисел, єдиним способом (з точністю до порядку множників) розкладається на лінійні множники в цьому полі

(57)

де корені, а старший коефіцієнт многочлена

Теорема 27. Многочлен го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів.

Теорема 28. Якщо комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами

(59)

то спряжене комплексне число також є коренем цього многочлена.

Теорема 29. Якщо комплексне число є коренем ї кратності многочлена з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число є коренем многочлена тієї ж кратності

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.320-321.]

Теорема 30. Кожний многочлен над полем , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі.

Теорема 31. Кожний многочлен над полем дійсних чисел допускає єдиниий розклад на незвідні множники у цьому полі виду:

(62).

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.321-322.]

Розміщення дійсних коренів многочлена

Розглянемо питання, пов‘язане з розміщенням на дійсній осі коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.

Зробимо зауваження щодо комплексних коренів многочленів. Ці зауваження є наслідками раніше з‘ясованих фактів.

1. Усі корені многочлена лежать усередині круга з центром у точці і радіусом

. (63)

Це випливає з наслідку 1 теореми 21. (Лекція 1 модуль 3).

2. Комплексні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.

Теорема 32. Усі дійсні корені рівняння

містяться в інтервалі , де

.

Теорема 33 (Ньютона). Число є верхньою межею додатних коренів многочлена , якщо при многочлен має додатне значення, а всі його похідні – невід‘ємні значення.