Незвідні многочлени

Означення 11. Многочлен називається незвідним у полі , якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочленів виду , де .

Означення 12. Многочлен називається звідним у полі , якщо і коли існують такі многочлени і , що , причому і .

Поняття звідність або незвідність многочлена є поняття відносне і залежить від поля , над яким многочлен розглядається. Будь-який многочлен, який належить можна вважати також многочленом над полем де довільне розширення поля .

Якщо звідний у полі , то він звідний і у будь-якому розширенні цього поля. Але цілком можливо, що многочлен , незвідний у полі , виявиться звідним у деякому розширенні поля .

Теорема 5. Многочлен першого степеня над довільним полем незвідний у цьому полі.

Властивості незвідних многочленів

1. Будь-який многочлен першого степеня незвідний у полі .

2. Якщо -многочлен, незвідний у даному полі, то і многочлен , де - довільна відмінна від нуля константа, незвідний у цьому полі.

3. Якщо -многочлен, незвідний у даному полі многочлен, а - довільний многочлен над цим полем, то або , або .

4. Якщо незвідний у даному полі многочлен ділиться на інший незвідний у цьому полі многочлен , то ці многочлени збігаються з точністю до сталого множника.

5. Якщо добуток многочленів і ділиться на незвідний многочлен , то хоча б один з цих многочленів ділиться на .

Канонічний розклад многочлена

Теорема 6. Кожний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді:

, (13)

де всі є незвідними многочленами у полі . Зображення (13) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді

, (18)

де - попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні у полі . Це зображення єдине з точністю до сталих множників.

Зображення (18) називають канонічним розкладом многочлена у полі .

Означення 13. Якщо многочлен входить у канонічний розклад (180 у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена . Множники, кратність яких більша за одиницю, називаються кратними множниками.

Теорема 7. Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у довільному полі то найбільший спільний дільник дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як , так і . Якщо таких спільних незвідних множників немає, то

Корені многочленів

Нехай - многочлен над полем а - розширення

можна обчислити

Означення 14. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що

(Корінь многочлена інколи називають нулем многочлена).

Теорема 8. Елемент є коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли лінійний двочлен є дільником многочлена

Означення 15. Елемент називається коренем многочлена , якщо .

Означення 16. Елемент називається - кратним коренем многочлена , якщо але не ділиться на

(19)

Теорема 9. Число усіх можливих коренів многочлена над полем не перевищує його степеня.

Наслідок. Якщо многочлен , степінь якого не перевищує має , різних коренів, то є нуль – многочлен.

Теорема 10. Існує один і тільки один многочлен не вище -го степеня, який приймає в різних точках задані значення

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор. 250-251.]