Існування коренів многочлена

Теорема 11 (Кронекера). Якщо - довільний многочлен над полем то існує розширення поля в якому є корінь .

Теорема 12. Для будь-якого многочлена , існує таке розширення поля в якому розкладається на лінійні множники.

Означення 17. Поле , в якому многочлен розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Означення 18. Поле називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена ненульового степеня.

або

- є алгебраїчно замкнуте поле, якщо усі корені будь-якого многочлена належать цьому самому полю.

[ – поле комплексних чисел] – алгебраїчно замкнуте.

Наслідок 1. Многочлен -го степеня має у полі розкладу коренів.

Наслідок 2. У полі розкладу многочлен

має канонічний розклад виду:

(24)

де - попарно різні корені многочлена .

Теорема 13 (Вієта). Якщо - корені многочлена

то

(25)

(25)

Похідна від многочлена

Означення 19. Похідною від многочлена

називається многочлен

Похідну від многочлена нульового степеня, а також похідну від нуль-многочлена беруть рівною нулю.

З означення випливає, що похідна від многочлена над полем є знову многочлен над полем . є поле характеристики 0.

Відокремлення кратних множників

Вище (теорема 6 та її наслідки) було доведено, що всякий многочлен над полем можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижчих степенів, незвідних у цьому полі:

. (26)

Теорема 14. Якщо незвідний у даному полі многочлен є множником кратності для многочлена то він є множником кратності для похідної Якщо є множником першої кратності многочлена то він не входить у розклад похідної на незвідні множники.

Наслідок. Для того, щоб многочлен не мав кратних множників, необхідно і достатньо, щоб був взаємно простий із своєю похідною .

Як ми знаємо, будь-який многочлен у даному полі можна подати у вигляді

(28).

Висновок. У довільного многочлена над полем можна відокремити кратні множники за допомогою скінченого числа раціональних дій над деякими многочленами.

Теорема 15. Для того, щоб був коренем кратності необхідно і достатньо, щоб

(32)

Раціональні дроби. Поле раціональних дробів. Розклад раціональних дробів на елементарні

Для будь-якої області цілісності існує єдине поле , яке містить і має ту властивість, що кожний елемент з можна подати як частку двох елементів з . При цьому називається полем часток (відношень) області цілісності .

Теорема 16. Для будь-якого поля існує єдине поле яке містить кільце многочленів над полем і кожний елемент якого можна подати у вигляді частки , де

(34)

називається полем раціональних дробів над , а кожний його елемент – раціональним дробом над .

Означення 20. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь менший за степінь . У противному разі дріб називається неправильним.

Надалі, вважатимемо, що раціональні дроби задаються нескоротними частками і що старший коефіцієнт знаменника дорівнює 1.

Лема 1.Сума правильних раціональних дробів є правильний раціональний дріб.

Означення 21. Елементарним дробом у полі називається раціональний дріб виду , де незвідний многочлен у полі , і .

Лема 2. Якщо - взаємно прості многочлени над полем і - правильний раціональний дріб над цим полем, то в кільці завжди можна знайти такі многочлени що

причому дроби у правильній частині цієї рівності правильні.

Наслідок. Якщо - попарно взаємно прості многочлени над полем і - правильний раціональний дріб над цим полем, то в кільці завжди можна знайти такі многочлени що

(37)

причому всі дроби в правій частині (37) правильні.

Лема 3. Всякий правильний дріб над полем виду де - многочлен, незвідний у полі , а можна подати як суму двох правильних дробів над полем виду

(38)

з яких перший є елементарним у полі .

Наслідок. Кожний правильний дріб над полем виду де - многочлен, незвідний у полі , а можна подати як суму елементарних дробів у цьому полі:

(39

Теорема 18. Будь-який правильний дріб над полем можна подати як суму елементарних дробів у цьому полі.

Теорема 19. Розклад правильного раціонального дробу на елементарні дроби у даному полі єдиний.

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.270-271.]

Теорема 20. Всякий неправильний дріб можна подати як суму многочлена і правильного дробу