Додаток

Ми опустили в тексті доведення інваріантності

так як воно спирається на правило множення визначників, яке по існуючим навчальним планам невідоме студентам І курсу заочних відділень педуніверситетів.

§ 1. Правило перемноження визначників

Для того, щоб перемножити два визначники

Потрібно елементи і-ой строчки визначника D₁ помножити на відповідні елементи j-того стовпчика визначника D₂ та всі ці добутки додати; отримана сума буде членом i-ої строчки j-того стовпчика нового визначника, котрий і буде добутком двох даних – D₁ та D₂, тобто

Приклад:

Використовуючи правило перемноження визначників, маємо:

І насправді:

§ 2. І₃ – інваріанта перетворення повороту осей координат

Доведемо, що

- це інваріанта перетворення повороту осей координат. Для цього помножимо її на квадрат визначника

що не змінить її величину

(- кут повороту осей координат).

(При другому множенні визначників у визначнику, який помножають, міняємо строки та стовпці ролями, що можливо, так як строчки і стовпчики у визначника рівноправні, а в отриманому після множення визначнику замінимо його елементи формулами (1)…(6) § 3).

Таким чином:

Що і треба було довести.

§ 3. І₂ – інваріанта перетворення переносу початку координат

Для доведення інваріантності

при перетворенні інваріантності початку координат в деяку точку (х₀, у₀) помножимо його на квадрат визначника

що не змінить його величини.

(При другому множенні визначників у визначнику, який помножають, міняємо строки та стовпці ролями, в отриманому після перемноження визначнику його елементи замінені за формулами (14) § 3.)

Таким чином:

що і треба було довести.

39