§ 5. Перетин лінії другого порядку з прямою
Позначимо ліву частину загального рівняння лінії другого порядку через 2F (x,y):
(1)
Розглянемо
пряму, що задана точкою M0(x0,y0)
та
направляючим вектором
(мал.5). Нехай M(x,y)
– точка, що належить даній прямій, тоді:
Або в координатах:
(2)
Рівняння прямої такого виду називаються параметричним рівнянням прямої. Кутовий коефіцієнт прямої (2) буде рівним:
Для
визначення координат точок перетину
лінії другого порядку з прямою розв’яжемо
систему рівнянь (1) та (2). Підставляючи
з рівняння (2) значення x
та y
в рівняння (1), приходимо до рівняння
виду:
(3)
де
(
)
(
)
(
)
Вирази
в дужках:
- це половини часткових похідних від
лівої частини рівняння (1), що розраховані
при x=x0
та
y=y0.
(Частковою похідною від функції з двома
змінними називається похідна, обчислена
по одній зі змінних, якщо враховувати
при цьому другу змінну постійною
величиною).
Дослідження питання про перетин прямої лінії з лінією другого порядку зводиться тепер до дослідження рівняння (3). Підлягають розгляду вісім можливих випадків.
I.
Розв’язуючи
квадратичне рівняння (3), маємо:
а
)
Якщо
дійсні,
то пряма (2) перетинає лінію (1) в двох
дійсних різних точках, координати яких
обчислюються з рівняння (2) підстановкою
значень t1,
t2
(мал.6а).
б) Якщо t1=t2, то пряма (2) має з лінією (1) одну спільну точку (дві, що злилися) та буде, значить, дотичною до цієї лінії (мал. 6б) .
в) Якщо t1 та t2 комплексні, то пряма (1) та лінія (2) не мають спільних точок (мал.6в).
II.
В цьому випадку рівняння (3) має вид: 2Qt+R=0 і буде мати лише один розв’язок
який
означає те, що пряма (2) перетинатиме
лінію (1) в одній точці.
Для
того, щоб з’ясувати положення другої
точки, ми перетворимо рівняння (3), вводячи
заміну
до виду
(
)
і
будемо змінювати напрям прямої таким
чином, щоб зі зміною
Точки перетину прямої (2) та лінії (1)
будуть змінювати своє положення.
В
граничному вигляді, коли Р=0, рівняння
(
)
набере вигляду:
Коренями цього рівняння будуть:
відповідно значення t будуть:
Таким чином, друга точка перетину, переміщуючись по кривій, в розгляданому вище процесі попрямувала в нескінченність.
П
ряму
лінію, яка перетинає лінію другого
порядку в нескінченності, називають
прямою асимптотичного напрямку (мал.7).
Значення
кутового коефіцієнту прямої асимптотичного
напрямку, який проходить через точку
М0,
знаходиться за умовою, що Р=0, тобто
Поділивши
на m2
та
замінивши
,
отримаємо:
(5)
Дискримінант цього квадратного рівняння буде рівним:
а) Якщо І2<0, то рівняння (5) матиме 2 дійсних корені k1 та k2 а це означає, що через точку М0 будуть проходити дві прямі асимптотичного напряму, а сама лінія матиме дві нескінченно віддалені точки.
Вище ми побачили, що при І2<0 лінія (1) буде гіперболою чи парою прямих, що перетинаються. (Лінії гіперболічного типу).
б) Якщо І2=0, то рівняння (5) матиме кратні корені k1=k2, це означає, що через точку М0 проходить одна пряма асимптотичного напрямку, а лінія (1) має одну нескінченно віддалену точку.
При І2=0 лінія (1) буде параболою чи парою паралельних (різних, співпадаючих чи уявних прямих. (Лінії параболічного типу).
в) Якщо І2>0, то корені k1 та k2 рівняння (5) будуть комплексними, а ,значить, прямих асимптотичного напрямку немає, у лінії не має нескінченно віддалених точок.
При І2>0 лінія (1) буде еліпсом (дійсним чи уявним), або точкою. (Лінії еліптичного типу).
III.
У цьому випадку рівняння (3) має вигляд:
В цьому випадку з рівнянь (2) маємо:
Звідки:
Так як t1+t2=0.
Таким чином точка М0 являтиметься серединою хорди М1М2 (М1 та М2 – точки перетину прямої (2) з лінією (1)), (мал.8).
Задача
Визначити кутовий коефіцієнт хорди лінії другого порядку, яка проходить через точку М0 і ділиться в ній наполовину.
Розв’язання. Координати кінців хорди М1 та М2 обчислюються з рівнянь (2) при деяких значеннях t1 та t2 , тобто:
Склавши та поділивши на 2, отримуємо:
Для того, щоб точка М0 була серединою хорди, необхідно, щоб
тобто, щоб t1+t2=0, так як m та n одночасно не можуть дорівнювати нулю.
За теоремою Вієта, t1+t2= - 2Q.
Значить,
Q=0
або
Звідки
маємо
