3. Гіпербола, парабола, геометричні властивості кривих другого порядку.

13. Дано рівняння гіперболи . Обчислити довжину її півосей, координати фокусів і ексцентриситет. Знайти рівняння асимптот, директрис і фокальні радіуси точок ,

Розв'язання.

Розділивши обидві частини даного рівняння на 63, приведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду: , звідки і

Оскільки , то . Тоді координата фокусів: і

Знайдемо ексцентриситет: .

Запишемо рівняння директрис:

Рівняння асимптот будуть:

Оскільки точка лежить на правій гілці гіперболи (), то її фокальні радіуси:

,

Оскільки точка лежить на лівій гілці гіперболи (), то її фокальні радіуси: ,

14. Написати рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі Оу симетрично відносно початку системи координат, якщо відстань між директрисами дорівнює 8, а ексцентриситет гіперболи дорівнює .

Розв'язання.

Так як фокуси гіперболи лежать на осі Оу, то рівняння директрис і ексцентриситет

Відстань між директрисами .

Таким чином, , але , або .

Підставляючи в цю рівність значення і одержимо звідки, і рівняння гіперболи має вигляд:

Відповідь:

15. До гіперболи провести дотичні через точки: 1) 2)

Розв'язання.

1) безпосередньою підстановкою координат точки М в рівняння гіперболи переконуємося, що точка М належить гіперболі, отже, для написання дотичної до гіперболи, яка проходить через цю точку, можна скористатися формулою : , або

Відповідь:

2) точка гіперболі не належить, тому формулою користуватися не можна..

Рівняння дотичної будемо шукати у вигляді або .

Зручно скористатися умовою дотику прямої до гіперболи.

Тут , , , , .

Тоді , звідки , і умові задачі задовольняють дві прямі , або і .

Відповідь: і .

16. До гіперболи провести дотичну, перпендикулярну прямій . Розв'язання.

Так як дотична перпендикулярна прямій , то її кутовий коефіцієнт , і її рівняння можна записати у вигляді , або .

Значення С визначимо з умови дотику прямої до гіперболи , так як, що , , , ,

Отже, умові задачі задовольняють дві дотичні: і

Відповідь: і .

17. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо дано її рівняння в полярних координатах

Розв'язання.

Праву частину даного рівняння подамо у наступному вигляді: порівняємо отримане рівняння з рівнянням : , із системи рівнянь , або , знайдемо ,

Тоді шукане рівняння гіперболи

Відповідь:

18. Знайти координати фокуса і рівняння директриси параболи . Обчислити довжину фокального радіуса точки М(2;4).

Розв'язання.

Парабола задана канонічним рівнянням вигляду .

Отже, , .

Тоді координати фокуса , рівняння директриси: . Довжину фокального радіуса точки М (2; 4) обчислимо за формулою

Відповідь: , рівняння директриси: .

19. Написати рівняння параболи, симетричної відносно осі Оу, з центром на початку системи координат, якщо вона проходить через точку В (1; -2).

Розв'язання.

Так як парабола симетрична відносно осі Оу і має вершину в початку системи координат, то її рівняння має вигляд . Оскільки точка лежить на параболі, то її координати задовольняють рівнянню параболи, тобто , звідки і - рівняння пораболи

Відповідь: .

20. На параболі знайти точку, яка знаходиться від директриси на відстані .

Розв'язання.

За означенням параболи для будь-якої її точки виконується співвідношення . Отже,

За формулою , звідки х = 8.

Підставляючи х = 8 у рівняння параболи, знайдемо відповідні йому значення у:

Таким чином, умові задачі задовольняють дві точки: і .

Відповідь: і .

21. Через точку М (5; -7) провести дотичну до параболи .

Розв'язання.

Точка М (5; -7) не належить параболі , отже, користуватися формулою не можна.

Так як шукана дотична проходить через точку (5; -7), то її рівняння мас вигляд .

Спільні точки прямої і даної параболи визначає система рівнянь , .

З другого рівняння системи виразимо .

Підставляючи його значення в перше рівняння, одержимо квадратне рівняння відносно у: . Це рівняння має рівні корені, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто коли .

Спрощуючи отримане рівняння, маємо квадратне рівняння відносно : , розв'язуючи яке, одержимо .

Таким чином, умові задачі задовольняють дві прямі:

і , або і .

Відповідь: , .

22. До параболи провести дотичну, паралельну прямій . Розв'язання.

Так як дотична паралельна прямій . то її кутовий коефіцієнт , і її рівняння можна записати у вигляді . Значення С визначимо з умови, що дотична і парабола мають одну спільну точку. Спільні точки дотичної і параболи визначає система рівнянь , .

Виражаючи з першого рівняння х і підставляючи його у друге рівняння, одержимо рівняння . Воно має рівні корені, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто коли , звідки С = 1 і рівняння дотичної .

Відповідь: .

23. Відносно декартової прямокутної системи координат написати канонічне рівняння параболи, якщо її рівняння в полярній системі координат має вигляд .

Розв'язання.

Перепишемо дане рівняння параболи у вигляді .

Порівнюючи це рівняння з рівнянням , отримаємо, що . Отже, канонічне рівняння параболи .

Відповідь: .