Гіпербола.

Означення 9. Гіперболою називається геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютне значення різниці відстаней до двох точок тієї ж площини, які називаються фокусами, є величина постійна, рівна 2а. (рис. 1.1.3)

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, де (1)

Координати фокусів гіперболи: і

Відстань між фокусами дорівнює 2с

Означення 10. Точки перетину гіперболи з віссю абсцис , називаються дійсними вершинами.

Означення 11. Відрізок називається дійсною віссю гіперболи.

Означення 12. Точки , називаються уявними вершинами.

Означення .13. Відрізок називається уявною віссю гіперболи.

Означення 14. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами до дійсної осі:

Гіпербола складається з двох гілок і розташована симетрично відносно осей координат.

Означення 15. Відстані і деякої точки гіперболи М (х; у) до його фокусів називаються фокальними радіусами-векторами цієї точки, причому (модуль різниці фокальних радіусів-векторів будь-якої точки гіперболи дорівнює його дійсній осі) і визначаються формулами:

, якщо точка М лежить на правій гілці

, якщо точка М лежить на лівій гілці.

Означення 16. Директрисами гіперболи називаються прямі і перпендикулярні до фокальної осі і віддалені від центра на відстані .

Їх рівняння: і , або ,

Відношення відстаней будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету гіпербули:

і

Рівняння гіперболи з осями, паралельними координатним осям, має вигляд:

де - координати центра гіперболи.

Означення 17. Прямі і , задані рівняннями і називаються асимптотами гіперболи.

Параметри і , що входять у рівняння гіперболи (1), дають довжину дійсної і уявної півосей гіперболи.

Для гіперболи можливі три випадки: , і .

Означення 18. Якщо , то рівняння гіперболи має вигляд:

і гіпербола називається рівносторонньою (рівнобічною) (рис. 1.1.4). Її асимптотами є бісектриси координатних кутів.

Означення 19. Дві гіперболи, які мають рівняння: і називаються спряженими гіперболами. Вони мають спільні асимптоти.

Якщо за осі координат прийняти асимптоти рівносторонньої гіперболи, то її рівняння буде мати вигляд:, де

Рівняння дотичної до гіперболи в точці має вигляд

З будь-якої точки площини можна провести до гіперболи дві дотичні. Якщо точка лежить на гіперболі, то обидві дотичні співпадають; точки, з яких можна провести дві дійсні і різні дотичні, складають зовнішню область гіперболи; точки, з яких можна провести лише уявні дотичні, складають внутрішню область гіперболи.

Парабола.

Означення 20. Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки - фокуса і даної прямої - директриси параболи (рис. 1.1.5).

Канонічне рівняння параболи має вигляд:

Де р-є відстань від фокуса до директриси.

Вершина параболи знаходиться на початку координат, віссю симетрії є вісь абсцис.

Координати фокуса

Рівняння директриси параболи має вигляд: .

Фокальний радиус-вектор точки параболи дорівнює:

Дотична до параболи в точці має рівняння:

Ексцентриситет параболи вважається рівним одиниц: .

Якщо віссю симетрії параболи є вісь ординат (рис. 1.1.6), то рівняння

параболи має вигляд: .

Рівняння директриси в цьому випадку має вигляд:

Рівняння параболи з віссю симетрії, паралельною одній з координатних осей, має вигляд: , або , де - координати вершини параболи.