1. Коло.

1. Написати рівняння кола, діаметром якого є відрізок МN, де, .

Розв'язання

Координати центра кола знайдемо як координати точки, яка ділить відрізок MN навпіл:

;

Радіус кола

Тоді - шукане рівняння кола.

Відповідь:.

2. Рівняння кола привести до канонічного вигляду.

Розв'язання.

Виділяючи повні квадрати в лівій частині даного рівняння, одержимо ,

або.

Дане рівняння визначає коло з центром в точці (-1; 5) і радіусом, рівним 5.

Відповідь: .

3. Яка лінія визначається рівнянням .

Розв'язання.

Привівши рівняння до канонічного вигляду, одержимо .

Таким чином, рівняння визначає вироджене коло, тобто точку (-5; 2).

Відповідь: вироджене коло, тобто точка (-5; 2),

4. Написати рівняння кола, яке проходить через три точки А (0; 2), В (1; 1) і

Розв'язання 1.

Рівняння кола будемо шукати у вигляді

Так як точки А, В і С належать шуканому колу, то, підставляючи в записане рівняння їх координати, одержимо систему трьох лінійних рівнянь , , розв'язавши яку, будемо мати , ,

Тоді - шукане рівняння.

Для знаходження радіуса і центра кола приведемо останнє рівняння до канонічного вигляду: звідки точка (-3; -2) - центр кола, а його радіус дорівнює 5.

Розв'язання 2.

Рівняння кола будемо шукати у канонічному вигляді

Підставляючи в це рівняння координати точок А, В і С, одержимо систему трьох рівнянь: , , , розв'язавши яку, будемо мати , , .

Отже, - шукане рівняння кола, точка (-3; -2) - його центр, а радіус дорівнює 5.

Відповідь:

5. Написати рівняння дотичної до кола в точці

Розв'язання.

За формулою маємо: , і запишемо рівняння дотичної, де в нашому випадку : або .

Відповідь:

6. Написати рівняння дотичних до кола , проведених з точки .

Розв'язання.

Точка А не належить колу, тому користатися формулою не можна. Рівняння дотичних будемо шукати у вигляді . Приведемо рівняння кола до канонічного вигляду:

Із системи рівнянь , визначимо спільні точки прямої і кола, для чого у з першого рівняння підставимо у друге:

, або

Так як пряма дотикається до кола, то це рівняння має єдиний розв'язок, отже, його дискримінант дорівнює нулю, тобто

, або , звідки і .

Тоді і - шукані рівняння.

Відповідь: і

7. Рівняння кола записати в полярній системі координат.

Розв'язання.

Використаємо зв'язок між полярними і декартовими координатами точки:

,

Тоді рівняння кола можна переписати в наступному вигляді:

або

Відповідь:

2. Еліпс. Його властивості.

8. Дано рівняння еліпса . Обчислити довжину його півосей, знайти координати фокусів, ексцентриситет, директриси і відстань між ними. Знайти фокальні радіуси точки і точки еліпса, відстань від яких до лівого фокуса дорівнює 14.

Розв'язання.

Розділивши обидві частини даного рівняння на 4225, одержимо канонічне рівняння еліпса: звідки , .

Таким чином, довжини півосей рівні відповідно і

Оскільки ,то . Тоді координати фокусів: і .

Знайдемо ексцентриситет:

Запишемо рівняння директрис:

Відстань між ними

Точка — лежить на еліпсі. Знайдемо її фокальні радіуси:

,

Знайдемо абсциси точок, відстань від яких до лівого фокуса дорівиює 14: ,

Підставляючи знайдене значення х у рівняння еліпса, знайдемо орданати цих точок:

Отже, умові задачі задовольняють дві точки:

,

9. Написати канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі ординат, симетричного відносно початку системи координат, якщо відстань між директрисами дорівнює 9, а відстань між фокусами - 4.

Розв'язання.

Тут і , тобто

Рівняння директрис мають вигляд , і відстань між ними дорівнює —; так як , то — . ; а так як , то

Із системи рівнянь — , знайдемо .

Оскільки , то .

Отже, канонічне рівняння еліпса: .

Відповідь: .

10. Написати рівняння дотичної до еліпса в точці

Розв'язання.

Скористаємося формулою . В нашому випадку , , , і запишемо рівняння шуканої дотичної: , або

Відповідь: .

11. Написати рівняння дотичної до еліпса , паралельної прямій .

Розв'язання.

Так як дотична паралельна прямій , то її кутовий коефіцієнт , і її рівняння можна записати у вигляді .

Значення С визначимо з умови дотику до прямої еліпса , так як, що , , , : , . Отже, умові задачі задовольняють дві дотичні: і .

Відповідь: і .

12. Відносно декартової прямокутної системи координат написати канонічне рівняння еліпса, якщо відомо його рівняння в полярній системі координат

Розв'язання.

Перепишемо дане рівняння еліпса у вигляді

Порівнюючи це рівняння з рівнянням , отримаємо, що , .

Значення і знайдемо із системи рівнянь ,

Тоді - шукане канонічне рівняння даного еліпса.

Відповідь: .