Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних координатах.

Нехай - лінія, яка є або еліпсом, відмінним від кола, або одною гілкою гіперболи, або параболою. Нехай і - фокус і директриса цієї лінії, причому, якщо - еліпс, то - один з його фокусів, а - відповідна директриса, а якщо - одна гілка гіперболи, то і - фокус і директриса, які розташовані по ту ж сторону від другої осі симетрії гіперболи, що і гілка . Лінія усіма своїми точками належить півплощини з границею , якій належить точка (рис. 1.1.7).

Враховуючи директоріальну властивість кривих другого порядку можна вивести рівняння кривої другого порядку в полярній системі координат, полюсом якої є фокус , полярна вісь перпендикулярна до директриси. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних координатах мають вигляд: (1), де - ексцентриситет кривої.

Якщо , то крива, задана рівнянням (1), є еліпс.

Якщо , то крива - гіпербола.

Якщо, то крива - парабола.

- фокальний параметр для еліпса і гіперболи, знаходиться за формулою:

Для параболи мас те ж саме значення, що й у рівнянні .

При цьому полюс розташовано для еліпса в лівому фокусі, для гіперболи - в правому фокусі.

Загальна теорія кривих другого порядку.

Загальне рівняння лінії другого порядку має вигляд:

(1)

Коефіцієнти цього рівняння - довільні дійсні числа, причому , , не дорівнюють одночасно нулю.

Для зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду спочатку шляхом повороту системи координат це рівняння, приводять до вигляду рівняння, в якому відсутній член з добутком змінних, а потім переносом початку координат добиваються подальшого спрощення.

Формули повороту прямокутної декартової системи координат мають вигляд:

Формули паралельного переносу системи координат мають вигляд:

де - координати точки, в яку переноситься початок координат.

Схема виконання перетворення повороту системи координат

таке:

1. Складають характеристичне рівняння кривої у вигляді:

(3)

де і - його корені.

2 За формулою , (4)

знаходять тангенс кута повороту системи координат. Потім, знаходять і:

, (5)

3. Знаходять коефіцієнти рівняння кривої (1) в новій системі координат.

Рівняння кривої другого порядку в новій системі координат , буде мати вигляд:

(6)

Де ,

(7)

4. Шляхом паралельного переносу системи координат одержують канонічне рівняння кривої.

Центр лінії другого порядку.

Означення 21. Точка С називається центром лінй другого порядку, якщо вона є центром симетрії цієї лінії.

Теорема 1. Для того, щоб точка була центром лінії другого порядку, заданої рівнянням (1), необхідно і достатньо, щоб пара чисел була розв'язком системи:

(8)

Наслідок: Для того, щоб початок координат був центом лінії, заданої рівнянням (1), необхідно і достатньо, щоб

Означення 22. Лінії, що мають один центр, називаються центральними.

Означення 23. Лінії, що не мають центрів або мають більше одного центра, називаються нецентральними.

Вирази та називаються інваріантами перетворення.

Лінія, є центральною тоді і лише тоді, коли .

Еліпс і гіпербола є центральними лініями (), вони мають один і лише один центр - початок системи координат, в якій ці лінії мають канонічні рівняння.

Парабола не має жодного центра.