Криві другого порядку. Їх канонічні рівняння і властивості. Загальна теорія кривих другого порядку.

Короткі теоретичні відомості

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ. ЇХ КАНОНІЧНІ РІВНЯННЯ І ВЛАСТИВОСТІ. Коло.

Означення 1. Коло - це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від однієї і тієї ж точки цієї площини (центра)(рис. 1.1.1).

Рівняння кола з центром в точці і радіусом r має вигляд:

(1)

В окремому випадку, коли центр кола співпадає з початком координат, його рівняння має вигляд:

(2)

Загальне рівняння кривої другого порядку

являє собою коло, якщо коефіцієнти при квадратах координат рівні між собою, тобто А=С , і якщо відсутній член з добутком координат ху, тобто B = 0.

Для знаходження точки перетину кола (1) і прямої Ах + Ву + С = 0, треба спільно розв'язати ці два рівняння. Виключивши з них одну з координат, наприклад у, одержимо квадратне рівняння відносно абсциси точки перетину:

1) якщо квадратне рівняння має дійсні і різні корені (підкореневий вираз додатній), то коло і пряма мають дві різні точки перетину, пряма є січною;

2) якщо квадратне рівняння має дійсні, але рівні корені (підкореневий вираз дорівнює нулю), то обидві точки перетину зливаються в одну пряму і пряма дотикається до кола;

3) якщо квадратне рівняння має уявні корені (підкореневий вираз від'ємний), то коло і пряма не мають дійсних точок перетину, пряма проходить за межами кола.

Взаємне розташування точки і кола (2) визначається такими умовами:

1. якщо то точка лежить на колі;

2. якщо , то точка лежить за межами кола;

3. якщо, то точка лежить всередині кола.

Якщо - довільна точка кола, то дотична до кола в цій точці має рівняння:

, або ,

в залежності від того, визначається чи ні коло рівнянням (1), або (2).

Еліпс. Канонічне рівняння, властивості.

Означення 2. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок тієї ж площини, які називаються фокусами, є величина постійна, рівна 2а. (рис. 1.1.2)

Канонічне рівняння еліпса має вигляд:

де а - велика, b - мала піввісь еліпса, причому а, b, с (с – половина відстані між фокусами) зв'язані співвідношенням, , а>с.

Координати фокусів еліпса: і .

Відстань між фокусами еліпса дорівнює 2с.

Означення 3. Точки перетину еліпса з осями координат , , , називаються вершинами.

Означення 4. Відрізки, називаються осями еліпса.

Означення 5. Форма еліпса (міра його стиску) характеризується його ексцентриситетом, рівним відношенню відстані (2с) між фокусами до великої осі

Означення 6. Відстані і деякої точки еліпса до його фокусів називаються фокальними радіусами-векторами цієї точки, причому (сума фокальних радіусів-векторів будь-якої точки еліпса дорівнює його більшій осі), і визначаються формулами:

(правий фокальний радіус-вектор),

(лівий фокальний радіус-вектор).

В окремому випадку, коли фокуси зливаються в одній точці - центрі, еліпс перетворюється в коло з рівнянням

Взаємне розташування точки і еліпса визначається такими умовами:

1)якщо, то точка М лежить на еліпсі:

2)якщо , то точка М лежить за межами еліпса;

3)якщо, то точка М лежить всередині еліпса.

Означення 7. Директрисами еліпса називаються дві прямі і , паралельні малій осі і віддалені від неї на відстані, рівній

Їх рівняння мають вигляд:

і , або ,

Відношення відстаней будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету еліпса:

і

Таким чином, еліпс може бути визначений як геометричне місце точок, відношення відстаней яких від даної точки і даної прямої є величина постійна, менша одиниці.

Рівняння еліпса з осями, паралельними координатним осям, має вигляд:

, де координати центра елшса.

Еліпс має з будь-якою прямою дві точки перетину (дійсні, мнимі або ті, які співпадають).

Означення 8. Якщо пряма перетинає еліпс в двох точках, які співпадають, то вона називається дотичною до еліпса.

Рівняння дотичної до еліпса в точці має

вигляд:

З будь-якої точки можна провести до еліпса дві дотичні. Якщо точка лежить за межами еліпса, обидві дотичні дійсні; якщо точка лежить на еліпсі, дотичні співпадають; якщо точка лежить всередині еліпса, обидві дотичні уявні.