Умова паралельності вектора і площини

Теорема

Для того, щоб вектор був паралельним площині , що задана рівнянням , необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова

.

Дослідження загального рівняння площини

Якщо в рівнянні (6) деякі із коефіцієнтів дорівнюють нулю, то такі рівняння називаються неповними рівняннями площини. Особливість розміщення площин, які задаються неповними рівняннями, у просторі визначається такими правилами:

Правило 1. Якщо , то рівняння визначає площину, яка проходить через початок координат.

Правило 2. Якщо , то рівняння визначає площину, паралельну осі .

Якщо , то рівняння площини має вигляд . Ця площина паралельна осі .

Якщо , то площина , що визначається рівнянням , паралельна осі .

Взагалі, якщо в рівнянні площини відсутня координата , або , то площина паралельна відповідно осі , або .

Правило 3. Якщо , то рівняння визначає площину, паралельну площині координат .

Нехай . Тоді рівняння визначає площину, паралельну координатній площині .

Якщо , то рівняння визначає площину, паралельну площині координат .

Отже, якщо дорівнюють нулю коефіцієнти при двох із ко­ординатних змінних, то площина паралельна відповідній координатній площині.

Правило 4. Нехай . Тоді рівняння площини буде мати вигляд і площина проходить через вісь .

Якщо , то рівняння площини визначає площину, що проходить через вісь .

Якщо , то рівняння площини визначає площину, що проходить через вісь .

Тобто, якщо дорівнює нулю коефіцієнт при одній із координатних змінних і , то площина проходить через відповідну координатну вісь.

Правило 5. Якщо , то рівняння визначає площину координат .

Рівняння та визначають відповідно площини координат та .

Звідси, якщо дорівнюють нулю коефіцієнти при двох координатних змінних і , то площина збігається з відповідною координатною площиною.

Геометричний зміст знаку многочлена

Нехай задано вираз . Відомо, що всі точки , координати яких задовольняють рівність , лежать на одній площині. З’ясуємо геометричний зміст знаку для точки, що не належить площині.

Коефіцієнти можна розглядати як координати вектора , перпендикулярного до даної площини. Нехай координати точки задовольняють умові: , тобто не належить площині . Якщо через точку провести пряму, колінеарну вектору , то вона перетне площину в точці, яку позначимо (рис.5). Вектори

та колінеарні, отже,

(7)

В цій рівності , якщо і одного напрямку, і , якщо і протилежних напрямків.

Рівність (7) в координатній формі запишеться так:

звідки

Підставляючи ці значення в ліву частину рівняння площини, маємо:

Але

,

оскільки точка лежить на площині, отже:

(8)

Таким чином, знак величини співпадає зі знаком . Якщо , то і та, звідси, вектори і знаходяться по один бік від даної площини і навпаки, якщо точка і вектор знаходяться по один бік від даної площини, то вектори і однаково напрямлені та, отже, і .

Якщо , то і ; тому, вектори і мають протилежні напрямки, а це значить, що точка і вектор розташовані по різні сторони від даної площини і навпаки, якщо точка і вектор знаходяться по різні боки від даної площини, то вектори і мають протилежні напрямки, тобто і, звідси .

Отже, для того, щоб точка і вектор лежали в просторі по один бік (по різні боки) від площини , необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова:

().